Paradox ni Russell: pangunahing impormasyon, halimbawa, pagbabalangkas

Russell kabalintunaan ay dalawang interdependent lohikal antinomy.

Dalawang paraan ng Russell 's kabalintunaan

Ang pinaka-madalas na napag-usapan anyo ng isang pagkakasalungatan sa logic set. Ang ilan sa mga set ay tila na maging ang mga miyembro ng kanilang sarili, at sa iba pa - walang. Ang hanay ng lahat ng mga hanay ay mismong isang set, kaya ito tila na ito ay tumutukoy sa sarili nito. Null o walang laman, gayunpaman, ay hindi dapat maging isang miyembro ng mismo. Samakatuwid, ang hanay ng lahat ng mga hanay, tulad ng zero ay hindi kasama sa mismo. Ang kabalintunaan arises kapag ang tanong ng kung ang mga set ng mga miyembro ng mismo. Ito ay posible kung at lamang kung ito ay hindi.

Ang isa pang anyo kabalintunaan ay isang pagkakasalungatan patungkol properties. Ang ilang mga ari-arian, ay anyong sumangguni sa kanilang sarili, habang ang iba ay hindi. ari-arian na pag-aari mismo ay isang ari-arian, habang ang ari-arian na ito ng isang cat ay hindi. Isaalang-alang ang ari-arian ng pagkakaroon ng isang ari-arian na ay hindi nabibilang sa kanya. kung ito ay sumasaklaw sa mismo? Muli, ang alinman sa mga pagpapalagay ay dapat na ang kabaligtaran. Ang kabalintunaan ay pinangalanang sa karangalan ng Bertrand Russell (1872-1970), na natuklasan ito sa 1901.

kuwento

Pagbubukas Russell naganap sa panahon ng kanyang trabaho sa "Mga Prinsipyo ng Matematika". Kahit na siya ay natuklasan ang kabalintunaan nang nakapag-iisa, mayroong katibayan na ang ibang mathematicians at mga developer ng set theory, kabilang ang Ernst Zermelo at David Hilbert, ay magkaroon ng kamalayan ng ang unang bersyon ng kontradiksyon sa harap niya. Russell, gayunpaman, ay ang unang na tinalakay sa detalye ang kabalintunaan sa kanyang nai-publish mga gawa, unang tried sa magbalangkas ng mga solusyon at ang unang upang lubos na pinasasalamatan ang kahalagahan nito. Ang isang buong kabanata ng "Prinsipyo" ay nakatuon sa talakayan ng mga isyung ito, at ang application ay nakatuon sa teorya ng mga uri, na kung saan Russell iminungkahi bilang isang solusyon.

Russell natuklasan ang "kabalintunaan ng sinungaling ', isinasaalang-alang kantor' s-set teorya na nagsasabi na ang kapangyarihan ng anumang hanay ay mas maliit kaysa sa set ng kanyang mga subset. Hindi bababa sa domain ay dapat na bilang ng maraming mga subset tulad ng mayroong mga elemento sa loob nito, kung ang isa subset ng bawat elemento ay naka-set na naglalaman lamang ng sangkap na ito. Higit pa rito, kantor na ang bilang ng mga elemento ay hindi maaaring maging katumbas ng bilang ng mga subset. Kung mayroong parehong numero, ito would may sa umiiral ƒ tampok na nais ipakita ang mga elemento sa kanilang mga subset. Kasabay nito maaari itong pinatunayan na ito ay imposible. Ang ilang mga item ay maaaring ipakita sa ang pag-andar ƒ subset na naglalaman ng mga ito, habang ang iba ay hindi.

Isaalang-alang ang subset ng mga elemento na hindi nabibilang sa kanilang mga imahe, na kung saan sila ipakita ang ƒ. Ito ay mismong isang subset ng mga elemento, at samakatuwid, ƒ function na nais ipakita ito sa isang elemento sa domain. Ang problema ay na pagkatapos ay ang tanong arises bilang sa kung elementong ito ay kabilang sa mga subset na kung saan ito ay nagpapakita ng ƒ. Ito ay posible lamang kung ito ay hindi nabibilang. Russell 's kabalintunaan ay maaaring makita bilang isang halimbawa ng parehong linya ng pagdadahilan, lamang pinasimple. Ano ang higit pa - ang mga hanay o subset ng set? Ito ay tila na dapat ay mayroong higit pang mga hanay, tulad ng lahat ng mga subset ng set ng kanilang mga sarili. Ngunit kung kantor 's teorama ay totoo, at pagkatapos ay doon ay dapat maging mas subset. Russell itinuturing lamang ipakita ang mga hanay sa kanilang mga sarili at inilapat kantoriansky diskarte isinasaalang-alang ang set ng lahat ng mga sangkap na ito, sa labas ng isang set na kung saan sila ay ipinapakita. Ipinapakita Russell ay nagiging ang hanay ng lahat ng mga hanay, isang non.

error Frege

"Ang kabalintunaan ng sinungaling" nagkaroon ng malalim na epekto sa makasaysayang pag-unlad ng teorya ng set. Siya ay nagpakita na ang konsepto ng unibersal na set ay lubos na may problemang. Siya din questioned ang paniwala na ang para sa bawat tinukoy na kondisyon o panaguri ay maaaring ipagpalagay na ang pagkakaroon ng isang mayorya ng lang ang mga bagay na masiyahan ang kundisyong ito. Pagpipilian kabalintunaan hinggil sa mga ari-arian - isang likas na extension sa bersyon sets - itataas malubhang pagdududa sa kung ito ay posible na magtaltalan tungkol sa mga layunin pagkakaroon ng isang ari-arian o isang unibersal na pag-alinsunod sa bawat tinutukoy ng mga kondisyon, o panaguri.

Sa lalong madaling panahon ang mga contradictions at mga problema sa trabaho ng logicians ang natagpuan, philosophers at mathematicians na may ginawa katulad na pagpapalagay. Sa 1902, Russell natagpuan na ang isang variant ng kabalintunaan ay maaaring ipinahayag sa isang lohikal na sistema, na binuo sa Volume I ng Gottlob Frege ni "Mga Saligan ng arithmetic", isa sa mga pangunahing gawa sa logic ng huli XIX - maagang XX siglo. Sa pilosopiya ng Frege maraming nauunawaan bilang isang "extension" o "value-range" konsepto. Ang konsepto ay ang pinakamalapit sa mga magkakaugnay. Sila ay inaasahan na umiiral para sa anumang naibigay na kalagayan o panaguri. Kaya, mayroong isang konsepto ng isang set, na hindi mahulog sa ilalim ng kanyang pagtukoy konsepto. Mayroon ding isang klase na tinukoy sa pamamagitan ng konsepto na ito, at ito ay napapailalim sa pagtukoy sa kanyang konsepto lamang kung ito ay hindi.

Russell ay nagsulat sa Frege hinggil sa sigalot na ito sa Hunyo 1902 Correspondence ay naging isa sa mga pinaka-kapana-panabik at usapan tungkol sa kasaysayan ng logic. Frege agad na kinikilala ang mapaminsalang kahihinatnan ng kabalintunaan. Siya nabanggit, gayunpaman, na ang bersyon ng kontrobersya hinggil sa mga ari-arian sa kanyang pilosopiya ay malutas sa pamamagitan ng tangi sa pagitan ng mga konsepto ng mga antas.

Frege paniwala nauunawaan bilang ang paglipat mula sa mga argumento ng function na TRUE. Ang konsepto unang antas ng pagkuha ng bilang argumento ang mga bagay ng ikalawang antas ng konsepto tumagal ng mga argumento sa mga pag-andar, at iba pa. Kaya, ang konsepto ay hindi kailanman ay maaaring tumagal ng kanyang sarili bilang isang argument, at ang kabalintunaan sa mga tuntunin ng ang mga katangian ay hindi maaaring formulated. Gayunpaman set, expansion o konsepto Frege naiintindihan bilang nagre-refer sa parehong lohikal i-type ang bilang na ng lahat ng iba pang mga bagay. Pagkatapos para sa bawat hanay ay may isang katanungan kung ito ay bumaba sa ilalim ng konsepto ng pagtukoy ito.

Kapag Frege, Russell natanggap ang unang titik, ang pangalawang dami ng "Mga Saligan ng arithmetic" ay naka-tapos na pag-print. Siya ay sapilitang upang mabilis na maghanda ng isang application na nagbibigay ng isang sagot sa kabalintunaan ng Russell. Mga halimbawa Frege na ang isang bilang ng mga posibleng solusyon. Subalit siya ay dumating sa konklusyon na pahinain ang konsepto ng abstraction set sa isang lohikal na sistema.

Sa orihinal, ito ay posible upang tapusin na ang bagay nauukol sa set kung at lamang kung ito ay bumaba sa loob ng konsepto, tumutukoy ito. Ang binagong sistema ay maaari lamang tapusin na ang bagay nauukol sa set kung at lamang kung ito ay bumaba sa loob ng kuru-kuro ng pagtukoy ng isang mayorya, ngunit hindi nakatakda sa tanong. Russell 's kabalintunaan arises.

Ang solusyon, gayunpaman, ay hindi ganap na nasiyahan sa Frege. At ito ay ang dahilan. Ilang taon na ang lumipas, mas kumplikadong mga form ng pagkakasalungatan nahanap para sa binagong sistema. Ngunit kahit na bago ito nangyari, Frege inabandunang kanyang mga desisyon at tila na dumating sa konklusyon na ang kanyang diskarte ay simpleng unworkable, at na lohika ay kailangang gawin nang walang anumang ng mga hanay.

Still ang iba ay iminungkahi, relatibong mas matagumpay alternatibong solusyon. Ang mga ito ay tinalakay sa ibaba.

Ang teorya ng mga uri

Ito ay nabanggit sa itaas na Frege ay isang sapat na tugon sa paradoxes ng set theory sa bersyon na formulated para sa ari-arian. Bilang tugon Frege ay maunahan ng mga pinaka-madalas na tinalakay solusyon sa form na ito ng kabalintunaan. Ito ay batay sa ang katunayan na ang mga ari-arian ay napapailalim sa iba't ibang uri at kung anong uri ng ari-arian ay hindi kailanman ang parehong bilang ng mga item na kung saan ito ay tumutukoy.

Kaya, kahit na ang tanong arises, kung ang ari-arian ay naaangkop sa sarili nito. Lohiko wika, na kung saan naghihiwalay ang mga elemento ng tulad ng isang hierarchy, gamit ang teorya ng mga uri. Kahit na ito ay ginagamit ng Frege, ang unang pagkakataon na ito ay ganap na naipaliwanag at substantiated Russell sa Annex sa "prinsipyo". Ang teorya ng mga uri ay mas kumpletong kaysa sa pagkakaiba ng Frege antas. She shared-aari ay hindi lamang iba't ibang uri ng logic, ngunit din set. i-type theory upang malutas ang pagkakasalungatan sa kabalintunaan ng Russell sumusunod.

Upang maging isang philosophically sapat na, ang pag-aampon ng ang teorya ng mga uri ng mga katangian ay nangangailangan ng pag-unlad ng teorya ng likas na katangian ng ari-arian upang maaari ipaliwanag kung bakit hindi nila maaaring ilapat sa kanilang mga sarili. Sa unang tingin, ito ang akma na tambalan ng kanilang sariling mga ari-arian. Ang ari-arian ng pagiging self-identity, ito ay tila, ito rin ay isang self-identity. Ang property ay anyong isang magandang kasiya-siya. Sa parehong paraan, tila, tila maling sabihin na ang mga ari-arian ng pagiging isang cat ay isang pusa.

Gayunpaman, iba't-ibang mga nag-iisip nabigyang-katarungan ang mga dibisyon ng iba't ibang mga uri. Russell kahit na nagbigay ng iba't ibang mga paliwanag sa iba't ibang oras sa kanyang karera. Para sa kanyang bahagi, ang makatwirang paliwanag para sa paghihiwalay ng mga iba't ibang mga konsepto ng Frege antas ay mula sa kanyang teorya ng unsaturated konsepto. Mga konsepto ng function, sa kakanyahan, ay hindi kumpleto. Upang magbigay ng halaga, kailangan nila ng isang argumento. Maaari mong hindi lamang sa isang konsepto na tambalan ang konsepto ng parehong uri, dahil ito pa rin ay nangangailangan ng kanyang argumento. Halimbawa, kahit na ito ay posible na gawin ang square root ng square root ng isang numero, hindi mo maaaring gamitin lamang ng isang square root function na ang square root function at makakuha ng isang resulta.

Tungkol sa konserbatismo properties

Ang isa pang posibleng solusyon ay ang kabalintunaan properties hindi pagsang-aari pag-iral sa ilalim ng anumang ibinigay na mga kondisyon, o ng isang nabuo nang maayos predicate. Of course, kung ang isang tao eschews metapisiko mga katangian ng parehong mga layunin at malayang elemento bilang isang kabuuan, kung lubos naming nominalismo kabalintunaan maiiwasan ganap.

Gayunpaman, upang malutas ang antinomy ay hindi kailangang maging kaya matinding. Logic mas mataas na order na sistema na binuo Frege at Russell, ay naglalaman ng kung ano ay tinatawag na isang pangkonseptong prinsipyo, ayon sa kung saan ang bawat bukas na formula nang walang kinalaman sa kung paano complex ay umiiral bilang bahagi ng isang ari-arian o konsepto halimbawa, tanging ang mga item na tumutugma sa formula. Sila ay inilapat sa ang mga katangian ng bawat posibleng hanay ng mga kondisyon o predicate, kahit gaano mahirap unawain sila ay.

Gayunpaman, ito ay posible na kumuha ng isang mas mahigpit na metaphysics ari-arian, na nagbibigay ng karapatan na ang layunin pagkakaroon ng simpleng ari-arian, kabilang ang, halimbawa, tulad ng pulang kulay, katatagan, kabaitan at iba pa. D. Maaari mo ring ipaalam sa mga pag-aari apply sa kanilang sarili, tulad ng kabaitan Maaari maging mabait.

At sa parehong kalagayan para sa komplikadong mga katangian ay maaaring tinanggihan, halimbawa, tulad "properties" bilang may labing pitong-ulo, ma-nakasulat sa ilalim ng tubig at mga katulad nito. D. Sa kasong ito, walang paunang natukoy na kondisyon ay hindi nakamit ang ari-arian, nauunawaan bilang hiwalay umiiral na elemento, na kung saan ay may sariling mga katangian. Kaya maaari isa tanggihan ang pagkakaroon ng simpleng pag-aari be-ari-arian-na-di-apply-to-sarili at iwasan ang kabalintunaan sa pamamagitan ng paglalapat ng mas konserbatibo metaphysical properties.

paradox ni Russell: ang solusyon

Sa itaas ito ay nabanggit na sa dulo ng kanyang buhay Frege ganap na nilisan ang logic ng mga hanay. Ito, siyempre, ang isang solusyon sa antinomy sa anyo ng mga hanay: isang simpleng pagtanggi sa pag-iral ng naturang mga elemento bilang isang buo. Sa karagdagan, may mga iba pang mga tanyag na mga pagpipilian, ang mga pangunahing kaalaman sa mga ito ay ipinapakita sa ibaba.

Ang teorya para sa maraming mga uri ng

Tulad ng nabanggit mas maaga, Russell nilalaro para sa isang mas kumpletong teorya ng mga uri, na ibahagi ang hindi lamang ang mga katangian o konsepto sa iba't ibang uri, ngunit ring i-set. Russell nagbahagi nakatakda sa isang mayorya ng hiwalay na mga yunit, isang mayorya ng mga hanay ng mga hiwalay na mga bagay, atbp Ang mga hanay ng mga bagay ay hindi isinasaalang-alang, at ng mayorya ng mga hanay - .. Sets. Ang isang pulutong ng hindi masaya ang mga uri, ay nagbibigay-daan mayroon kang bilang isang miyembro ng mismo. Samakatuwid walang set ng lahat ng mga hanay na hindi mga miyembro ng kanyang sarili, dahil para sa anumang hanay ng mga katanungan tungkol sa kung ito ay bilang isang miyembro, ay mismong isang uri ng paglabag. Muli, ang isyu dito ay na ipaliwanag ang metapisika mga hanay upang ipaliwanag ang pilosopiko pundasyon ng dibisyon sa uri.

pagsasapin-sapin

Sa 1937, V. V. Kuayn ay inaalok ng isang alternatibong solusyon, sa isang paraan na katulad sa ang teorya ng mga uri. Pangunahing impormasyon tungkol sa mga ito ay.

Ang paghihiwalay ng set ng elemento at iba pa. Ginawa upang ang palagay ng paghahanap ng mayorya palaging ay mali o walang kahulugan. Sets ay maaari lamang na ibinigay kapag pagtukoy ang kanilang kondisyon ay hindi isang uri ng paglabag. Kaya, para sa Quine, ang expression "x ay hindi kasapi ng x" ay ang makahulugang mga pahayag ay hindi nagpapahiwatig ang pagkakaroon ng ang hanay ng lahat ng mga elemento x nagbibigay-kasiyahan ang kundisyong ito.

Sa system na ito ng isang hanay umiiral para sa ilang mga open formula A kung at lamang kung ito ay nagsasapin-sapin, t. E. Kung ang mga variable ay itinalaga positive integers tulad na para sa bawat katangian na pangyayari ng isang mayorya ng mga sinusundang variable ay itinalaga assignment unit mas maliit kaysa sa na variable, sumusunod na susunod sa kaniya. Ito bloke Russell ni kabalintunaan, dahil ang formula na ginamit upang matukoy ang problema set, diyan ay ang parehong bago at pagkatapos ng variable kasapi sign ginagawa itong unstratified.

Ngunit ito ay hindi pa matukoy kung ang mga nagresultang system, na kung saan Quine na tinatawag na "New pundasyon ng matematika na lohika" pare-pareho.

pagtanggi

Ang isang ganap na magkaibang mga diskarte ay kinuha sa teorya ng Zermelo - Fraenkel (ZF). Dito, masyadong, itakda ang isang limitasyon sa pag-iral ng mga hanay. Sa halip, lapitan ang mga "top-down" ng Russell at Frege, sino una naisip na para sa lahat ng mga konsepto, mga katangian, o mga kondisyon ay maaaring magmungkahi ang pagkakaroon ng ang hanay ng lahat ng mga bagay na may ari-arian na ito o upang matugunan tulad ng isang kondisyon, sa ZF-teorya, ang lahat ng mga pagsisimula "mula sa ilalim up."

Indibidwal na mga elemento ng mga walang laman na hanay at bumuo ng isang set. Samakatuwid, hindi katulad ng mas maaga system at Russell Frege FIT ay hindi nabibilang sa ang unibersal na set na kasama ang lahat ng mga elemento at maging sa buong set. ZF nagtatakda ng mahigpit na mga limitasyon sa pag-iral ng mga hanay. Maaaring umiiral lamang mga inilaang paggagamitan nito ay malinaw na postulated o kung saan ay maaaring formulated sa pamamagitan ng umuulit proseso at iba pa. D.

Pagkatapos, sa halip na ang konsepto ng abstraction walang muwang set kung aling mga estado na ang isang partikular na sangkap ay kasama sa set kung at lamang kung ito ay nakakatugon sa mga kundisyon sa paghihiwalay prinsipyo na ginagamit DF, paghihiwalay o "pag-uuri". Sa halip na ipagpalagay na ang pagkakaroon ng ang hanay ng lahat ng mga elemento na kung saan ay walang exception masiyahan ang isang tiyak na kalagayan, para sa bawat umiiral na set Aussonderung ay nagpapahiwatig ng pagkakaroon ng isang subset ng lahat ng mga elemento sa orihinal na hanay na kung saan natutugunan ang kundisyon.

Pagkatapos ay dumating abstraction prinsipyo: kung ang hanay A ay umiiral, pagkatapos, para sa lahat ng x sa A, x ay kabilang sa mga subset A, na satisfies sa kalagayan kung at lamang kung ang x satisfies ang kundisyon C. diskarte na ito ay lumulutas sa mga kabalintunaan sa Russell, dahil hindi namin lamang ipagpalagay iyon ay, ang hanay ng lahat ng mga hanay na hindi mga miyembro ng kanilang mga sarili.

Ang pagkakaroon ng maraming mga hanay, maaari mong piliin o hatiin ito sa mga hanay, na kung saan ay sa kanilang sarili, at ang mga taong hindi tulad, ngunit dahil walang unibersal na hanay namin ay hindi nakatali hanay ng lahat ng mga hanay. Nang walang pag-aakala ang problema Nagtatakda Russell pagkakasalungatan ay hindi maaaring napatunayan.

iba pang mga solusyon

Sa karagdagan, nagkaroon ng kasunod na extension o pagbabago sa mga solusyon, tulad ng isang tinidor-type ang teorya ng "Prinsipyo ng Mathematics" system expansion "matematikal na lohika" Quine, pati na rin ang higit pang mga kamakailan-lamang na developments sa teorya ng set, na ginawa Bernays, Gödel at von Neumann. Ang tanong ng kung ang mga tugon sa mga hindi matutunaw kabalintunaan Bertrand Russell natagpuan, ay pa rin ng isang bagay ng debate.