Ang mga likhang ng sine ng mga anggulo ay katumbas ng cosine ng parehong anggulo

Dana simpleng trigonometrya function na y = kasalanan (x), ay differentiable sa bawat punto ng buong domain. Kailangan naming patunayan na ang mga kinopyang ng sine ng anumang argumento ay katumbas ng cosine ng parehong anggulo, iyon ay, '= Cos (x).

Ang patunay ay batay sa ang kahulugan ng isang hinalaw na pag-andar

Kami tukuyin ang x (arbitrary) sa ilang maliit na mga kapitbahayan ng isang partikular na punto x Δh _0. Susubukan naming ipakita ang pag-andar na halaga sa loob nito, at sa punto x upang mahanap ang pagdagdag ng isang naibigay na function. Kung Δh - argument incremented, ang bagong argument - ito x ₀ + xp = x, ang halaga ng function na ito para sa isang naibigay na halaga ng argument (x) ay katumbas Sin (x ₀ + xp), ang function na halaga sa isang tiyak na point (x ₀₎ ay kilala rin .

Ngayon kami ay may Δu = Sin (x ₀ + Δh) -Sin (x ₀₎ - nakuha pagdagdag function.

Ayon sa formula ng sine kabuuan ng dalawang hindi pantay na anggulo iko-convert namin ang pagkakaiba Δu.

Δu = Sin (x ₀₎ · Cos (Δh) + Cos (x ₀₎ · Sin (xp) minus Sin (x ₀₎ = (Cos (xp) -1 ) · Kasalanan ( x ₀₎ + Cos (x ₀₎ · kasalanan (Δh).

Isinagawa permutasyon tadhana nakapangkat unang sa third Sin _{(0 x),} kinuha out ang mga karaniwang kadahilanan - sine - ang bracket. Nakatanggap kami sa expression Cos pagkakaiba (Δh) -1. iniwan ito upang baguhin ang pag-sign sa harap ng panaklong at bracket. Pag-alam kung ano ang mga 1-Cos (Δh), gumawa kami ng mga pagbabago at makakuha ng isang pinasimple expression Δu, na kung saan ay pagkatapos ay hinati sa Δh.
Δu / Δh ay magkakaroon ng form: Cos (x ₀₎ · Kasalanan (Δh) / Δh 2 · Sin ² (0.5 x Δh) · Ang kasalanan (x ₀₎ / Δh. Ito ay ang ratio ng pagdagdag ng pag-andar sa admission sa pagdagdag ng mga argumento.

Ito ay nananatiling upang mahanap ang limitasyon ng ratio nakuha sa pamamagitan ng sa amin sa panahon lim Δh, tending sa zero.

Ito ay kilala na ang limitasyon Kasalanan (Δh) / xp ay katumbas ng 1, sa ilalim ng kondisyon. At ang expression 2 · Sin ² (0.5 x Δh) / Δh sa ang mga nagresultang sum partikular na transformations sa produkto na naglalaman ng unang multiplier kapansin-pansin na limitasyon: ang numerator ng praksyon at znemenatel hatiin sa pamamagitan ng 2, ang plaza ng sine palitan ang produkto. Narito kung paano:
(Kasalanan (0,5 · xp) / (0,5 · xp)) · Sin (xp / 2).
Ang limitasyon ng ganitong expression kapag Δh ay may gawi na zero, ay magiging katumbas ng bilang ng mga zero (0 multiply sa 1). Ito ay lumiliko out na ang mga limitasyon ng ratio Δy / Δh ay Cos (x ₀₎ · 1-0, ito ay Cos (x _0), ang expression na kung saan ay malaya sa Δh tending sa 0. Ang konklusyon: ang mga kinopyang ng sine ng anumang anggulo ay katumbas ng x cosine ng x, maaaring nakasulat na bilang: y '= Cos (x).

Ang resultang formula ay nakalista sa talahanayan sa mga kilalang derivatives, kung saan lahat ng elementarya function

Sa paglutas ng mga problema, kung saan siya ay nakakatugon sa mga hinalaw na ng sine, maaari mong gamitin ang mga panuntunan ng pagkita ng kaibhan at handa-made formula ng table. Halimbawa: ang mga kinopyang ng ang pinakasimpleng function na y = 3 · Sin (x) -15. Ginagamit namin ang elementary derivation mga panuntunan sa pag-alis numerical kadahilanan para sa pag-sign ng mga hinalaw at makalkula ang mga hinalaw na tapat na numero (na kung saan ay zero). Maglapat ng sine mesa halaga ng mga hinalaw na mga anggulo x katumbas Cos (x). Tumanggap ang sagot: y '= 3 · Cos (x) -O. hinangong ito, in turn, ay din ng isang elementarya function na y = H · Cos (x).

Ang mga likhang ng sine nakalapat ng anumang argument

Sa pagkalkula ng expression (Sin ² (x)) 'ay dapat tandaan kung paano differentiated kumplikadong function. Kaya, ² = Sin (x) - ay isang kapangyarihan function na tulad ng sine squared. Nito argument ay din ng isang trigonometriko function, isang kumplikadong argumento. Ang resulta sa kasong ito ay katumbas ng produkto ng unang multiplier ay isang parisukat na ng complex hinalaw na ng argument, at ang pangalawang - ang mga kinopyang ng sine. Narito ang mga tuntunin para sa differentiating isang katangian ng isang function: (u (v (x))) 'ay (u (v (x)))' · (v (x)) '. Expression ng v (x) - isang komplikadong argument (panloob na function). Kung ang ibinigay na function na "y ay katumbas ng sine nakalapat x", pagkatapos ay ang mga hinalaw na ng composite function ay y '= 2 · Ang kasalanan (x) · Cos (x). Ang produkto ng unang multiplier Dinoble - hinalaw na kilala exponential function, at Cos (x) - hinalaw sinus komplikadong argument ng parisukat function. Ang huling resulta ay maaaring transformed sa pamamagitan ng paggamit ng formula ng trigonometriko sine sa mga double anggulo. A: derivative ay Sin (2 · x). Formula na ito ay madaling tandaan, ito ay madalas na ginagamit bilang isang table.