Polyhedra. Mga uri ng polyhedra at ang kanilang mga ari-arian

Polyhedra hindi lamang sumasakop sa isang kitang-kitang lugar sa geometry, ngunit ring maganap sa araw-araw na buhay ng bawat tao. Hindi sa banggitin ang mga artipisyal na may kaugnayan bagay sa isang iba't ibang mga polygon, na nagsisimula mula sa mga kahon ng mga posporo at nagtatapos arkitektura elemento sa kalikasan ring maganap crystals sa anyo ng isang kubo (asin), prisms (kristal), pyramid (scheelite), octahedra (diamond), at iba pa . d.

Ang konsepto ng isang polyhedron, sa uri geometry ng polyhedrons

Geometry agham Binubuo stereometry seksyon na deal sa mga katangian at mga katangian ng bulk hugis. Geometric katawan panig ay nabuo sa tatlong-dimensional space bounded sa pamamagitan ng eroplano (facets) ay kilala bilang "politopo". Mga uri ng polyhedra ay may higit sa isang dosenang mga kinatawan ng magkakaibang numero at hugis ng mukha.

Gayunpaman, ang lahat ng polyhedra ay may mga karaniwang katangian:

1. Ang lahat ay may tatlong mahalagang sangkap: ang mukha (binalimbing ibabaw), tuktok (ang anggulo nabuo sa ground facets compound), isang gilid (side o i-cut mga hugis binuo sa kanto ng dalawang mukha).
2. Ang bawat polygon gilid nag-uugnay sa dalawa, at tanging dalawang mga mukha na may kaugnayan sa bawat isa ay katabi.
3. bulge Ang ibig sabihin nito na ang katawan ay ganap na nakaayos sa lamang ng isang bahagi ng eroplano kung saan rests isa sa mga mukha. Ang patakaran ay sumasaklaw sa lahat ng mga mukha ng polyhedron. Ang mga geometric na hugis sa solid geometry kataga na tinatawag na matambok polyhedra. Exceptions ay stellate polyhedra na kung saan ay nagmula mula sa mga regular binalimbing geometric katawan.

Polyhedra ay maaaring nahahati sa:

1. Mga uri ng matambok polyhedra, na binubuo ng mga sumusunod na mga klase: maginoo o klasikong (isang prisma, isang pyramid, isang kahon), i-right (tinatawag din na mababaw solids), semiregular (ikalawang pangalan - Arkimed solids).
2. Non-umbok polyhedrons (stellate).

Prism at pag-aari nito

Geometry bilang division geometry aaral ang mga katangian ng tatlong-dimensional hugis, mga uri ng polyhedra (prisma kasama ng mga ito). Prism tinatawag geometric katawan na kung saan ay kinakailangan ng dalawang magkatulad na mga mukha (tinatawag din na naka-base) nakahiga sa parallel eroplano, at n-th ng side nakaharap sa anyo ng parallelograms. Kaugnay nito, ang prisma ay mayroon ding ilang mga varieties, kabilang ang naturang mga uri ng polyhedra, tulad ng:

1. Paralelipiped - nabuo kapag ang base ay isang paralelogram - isang polygon na may mga pares ng dalawang laban pantay na mga anggulo at dalawang pares ng kabaligtaran panig ng kapareho.
2. Prisma ay perpendikular sa ang mga gilid ng base.
3. Ang hilig prism nailalarawan sa pamamagitan ng hindi direktang mga anggulo (bukod sa 90) sa pagitan ng mga mukha at ang base.
4. Wastong nailalarawan prism base sa anyo ng isang regular na polygon na may pantay na lateral gilid.

Ang pangunahing katangian ng ang prisma:

• Kapareho bases.
• Ang lahat ng mga gilid ng mga prisma ay pantay at parallel sa isa't isa.
• Lahat side mukha ay may isang hugis ng isang paralelogram.

piramide

Pyramid tinatawag geometric katawan na binubuo ng isang base at isa sa mga n-th ng tatsulok na mukha na kumonekta sa isang solong point - sa itaas. Dapat ito ay nabanggit na kung ang side mukha ng mga pyramid ay kinakatawan ng triangles ay kinakailangan, pagkatapos ay ang base ay maaaring maging tulad ng isang tatsulok polygon o apat na gilid at pentagonal, at iba pa ad infinitum. Sa kasong ito, ang pangalan ng pyramid ay tumutugma sa isang polygon sa base. Halimbawa, kung ang base ay isang tatsulok pyramid - isang tatsulok na pyramid, may apat na gilid - may apat na sulok, atbp ...

Pyramids - ito konusopodobnye polyhedra. Mga uri ng polyhedra ng pangkat na ito, bilang karagdagan sa nasa itaas, din isama ang sumusunod na mga kinatawan:

1. Regular pyramid ay batayan ng isang regular na polygon, at ang taas niyaon ay projected papunta sa sentro ng isang bilog inscribed sa base o circumscribed sa paligid nito.
2. Ang isang parihabang pyramid ay nabuo kapag ang isa sa mga gilid gilid magsalubong ang base sa isang karapatan anggulo. Sa ganoong kaso, tunay na ito edge tinatawag ding pyramid taas.

Pyramid Properties:

• Sa kaso kung saan ang lahat sa gilid gilid congruent pyramids (ang parehong taas), ang lahat ng mga ito ay kasabay ng isang base sa isang anggulo, at sa paligid ng base ay maaaring gumuhit ng isang bilog na may sentro coinciding sa projection ng mga kaitaasan ng mga pyramid.
• Kung ang base ng pyramid ay isang regular na polygon, ang lahat ng lateral gilid ay kapareho, at ang mga mukha ay isosceles triangles.

Regular na polyhedron: mga uri at mga katangian ng polyhedra

Sa stereometrical maghawak ng isang espesyal na lugar ang geometric katawan na may isang ganap na katumbas ng bawat isa facet ng vertices ng kung saan ay konektado sa parehong bilang ng mga buto-buto. Ang mga katawang ito ay tinatawag na mababaw solids, o regular na polyhedra. Mga uri ng polyhedra na may tulad na mga katangian, mayroon lamang limang mga numero:

1. Apsulok.
2. Hexahedron.
3. Octahedron.
4. Dodekahidron.
5. Icosahedron.

Kanyang pangalan regular na polyhedra ay kinakailangang sinaunang Griyego pilosopo Plato inilarawan ang mga geometric katawan sa kanilang trabaho at upang ikonekta ang mga ito gamit ang mga elemento ng kalikasan: lupa, tubig, apoy, hangin. Fifth figure iginawad pagkakatulad sa istraktura ng uniberso. Ayon sa kanya, natural na kalamidad atom makahawig ang mga uri ng mga regular na polyhedra. Salamat sa kanyang pinaka kamangha-manghang tampok - symmetry, ang mga geometric na hugis ng mahusay na interes hindi lamang para sa mga sinaunang mathematicians at philosophers, ngunit din para sa mga arkitekto, painters at sculptors ng lahat ng oras. Ang pagkakaroon ng mga lamang ng 5 uri ng hayop na may absolute symmetry polyhedra itinuturing na isang pangunahing pagtuklas, sila kahit na iginawad ng koneksyon sa mga banal.

Hexahedron at pag-aari nito

Sa anyo ng mga hexahedron tagapagmana Plato ipinapalagay pagkakapareho sa ang istraktura ng atom lupa. Siyempre, ngayon ganap na pinabulaanan ito teorya, na kung saan, gayunpaman, ay hindi makagambala sa mga guhit at modernidad na maakit ang isip ng mga kilalang mga numero ng kanyang aesthetics.

Sa heometriya, ang isang hexahedron, ni siya Cube ay itinuturing na isang espesyal na kaso ng kahon, na kung saan, sa pagliko, ay isang uri ng prism. Alinsunod dito, ang mga katangian na nauugnay sa kubo prism properties na may pagkakaiba lamang na ang lahat ng mga gilid at sulok ng kubo ay pantay. Mula sa mga sumusunod na katangian:

1. Ang lahat ng mga gilid ng isang kubo ay kapareho at hindi nagsasabi ng totoo sa parallel eroplano na may paggalang sa bawat isa.
2. Ang lahat ng mga mukha - congruent parisukat (sa mga kubo ng 6), ang anumang isa ay maaaring kinuha bilang batayan.
3. Ang lahat ng angles ay pantay intergranal 90.
4. Mula sa bawat tuktok ay may isang patas na bilang ng mga buto-buto, lalo 3.
5. kubo ay may siyam na axes ng mahusay na proporsyon, kung saan ang lahat magsalubong sa punto ng intersection ng diagonals ng hexahedron, tinutukoy bilang isang sentro ng mahusay na proporsyon.

apsulok

Apsulok - isang apsulok sa gilid pantay-pantay sa hugis ng mga triangles, sa bawat tuktok ng kung saan ay ang kantong punto ng tatlong mga gilid.

Ang mga katangian ng isang regular na apsulok:

1. Ang lahat ng mga mukha ng apsulok - isang equilateral tatsulok, na nangangahulugan na ang lahat ng mga mukha ng isang apsulok ay kapareho.
2. Dahil ang base ay isang regular na geometric figure, iyon ay, ito ay may pantay na panig, ang mga mukha ng apsulok at magsalubong sa parehong anggulo, ibig sabihin lahat ng mga anggulo ay pantay.
3. Halaga planar mga anggulo sa bawat isa sa mga vertices ay katumbas ng 180, dahil ang lahat ng mga anggulo ay pantay-pantay, ang anumang anggulo ng isang regular na apsulok 60.
4. Ang bawat isa sa vertices inaasahang intersection point ng taas ng ang kabaligtaran (orthocenter) mukha.

Octahedron at pag-aari nito

Na naglalarawan ng uri ng mga regular na polyhedra, dapat ito ay mapapansin na object bilang isang octahedron, na maaaring visually kinakatawan bilang dalawang nakadikit apat na gilid base ng mga regular na pyramids.

Ang mga katangian ng octahedron:

1. Ang mismong pangalan ng geometric katawan ay nagsasabi sa ang bilang ng kanyang mga mukha. Octahedron binubuo ng 8 kapareho equilateral triangles, ang bawat isa na kung saan ay katumbas ng bilang ng mga vertices sa isang lugal mukha, lalo 4.
2. Dahil ang lahat ng mga mukha ng mga octahedron ay pantay at sulok nito intergranal, ang bawat isa ay 60, at ang kabuuan ng planar angles alinman sa vertices ay sa gayon ay 240.

dodekahidron

Kung isipin namin na ang lahat ng mga mukha ng mga geometric katawan ay isang regular na pentagon, kumuha ka ng isang dodekahidron - isang figure ng 12 mga polygon.

Properties dodekahidron:

1. Sa bawat tuktok magsalubong sa kahabaan ng tatlong panig.
2. Ang lahat ng mga mukha ay pantay-pantay at magkaroon ng parehong haba ng mga buto-buto, at pantay na lugar.
3. Sa dodekahidron 15 axes at mga eroplano ng mahusay na proporsyon, sa anumang isa sa mga ito ay ipinapasa sa pamamagitan ng gitna ng tuktok na mukha at isang tapat gilid.

icosahedron

Pantay-kagiliw-giliw kaysa sa dodekahidron, icosahedron figure ay kumakatawan sa tatlong-dimensional geometriko katawan 20 na may pantay na gilid. Kabilang sa mga ari-arian karapatan icosahedron ay ang mga sumusunod:

1. Ang lahat ng mga mukha ng mga icosahedron - isosceles triangles.
2. Sa bawat tuktok ng polyhedron magsalubong limang mga mukha, at ang kabuuan ng katabing mga anggulo ay 300 tops.
3. Icosahedron ay pareho at dodekahidron, 15 axes at mga eroplano ng mahusay na proporsyon dumadaan sa gitna ng mga punto ng kabaligtaran panig.

semiregular polygons

Higit pa rito mababaw solids, polyhedrons matambok grupong kabilang din ni Arkimed solids, na kung saan ay pinutol regular polyhedrons. Mga uri ng polyhedra sa grupong ito ay may mga sumusunod na katangian:

1. Geometric katawan ay pairwise pantay na mga mukha ng ilang mga uri, halimbawa, pinutol apsulok ay katulad ng isang regular na apsulok, 8 mga mukha, ngunit sa kaso ng katawan 4 Arkimed mga mukha ay tatsulok hugis at 4 - hexagonal.
2. Ang lahat ng mga anggulo ay kapareho sa isa sa kaitaasan.

stellate polyhedra

Kinatawan species neobomnyh heometriko mga katawan - stellate polyhedrons, ang mga mukha na bumalandra sa bawat isa. Maaari silang ma-nabuo sa pamamagitan ng pagsama-sama ng dalawang mga regular na three-dimensional na mga katawan o bilang isang resulta ng sa pagpapatuloy ng kanilang mga mukha.

Kaya, tulad kilalang stellate polyhedra ng: stellate hugis ng isang octahedron, dodekahidron, icosahedron, cuboctahedral, icosidodecahedron.