Riemann teorya. Pamamahagi ng mga de-kalidad na mga numero

Noong 1900, isa sa mga pinakadakilang siyentipiko ng huling siglo, si David Hilbert ginawa ng isang listahan na binubuo ng 23 nalutas na problema ng matematika. Trabaho sa mga ito ay nagkaroon ng napakalaking epekto sa pag-unlad ng patlang na ito ng kaalaman ng tao. Pagkatapos ng 100 taon sa Clay matematiko Institute ay nagpakita ng isang listahan ng mga pitong mga problema, na kilala bilang ang layunin Millennium. Para sa mga desisyon ng bawat isa sa kanila ay inaalok ang mga premyo na $ 1 milyon.

Ang tanging problema, na kung saan ay kabilang sa mga dalawang mga listahan ng mga puzzle, mga siglo ay hindi magbibigay sa natitira sa mga siyentipiko, ay naging ang Riemann teorya. pa rin Siya ay naghihintay para sa kanyang mga desisyon.

Maikling byograpiko impormasyon

Georg Friedrich Bernhard Riemann ay ipinanganak sa 1826 sa Hanover, sa isang malaking pamilya ng isang mahinang pastor, at namuhay lamang 39 taong gulang. Siya pinamamahalaang upang i-publish 10 mga papeles. Gayunpaman, sa panahon ng buhay ng Riemann siya itinuturing na isang kahalili ng kaniyang guro Johann gauss. Sa 25 taon batang siyentipiko defended kanyang tesis "Mga Saligan ng teorya ng pag-andar ng isang kumplikadong variable." Mamaya siya formulated kanyang teorya, na kung saan ay naging sikat.

primes

Mathematics ay dumating kapag natutunan ng tao upang mabilang. Nang magkagayo'y tumindig ang unang ideya ng mga numero, na kung saan mamaya sinubukan upang uriin. Ito ay siniyasat na ang ilan sa kanila ay may mga karaniwang katangian. Sa partikular, sa gitna ng mga natural na mga numero ng m. E. Yaong na kung saan ay ginagamit sa pagkalkula (pagnunumero) o ang itinalagang bilang ng mga item ay inilalaan ng isang grupo ng mga tulad na kung saan ay nahahati lamang sa pamamagitan ng isa at sa kanilang sarili. Sila ay tinatawag na simple. Isang eleganteng patunay ng teorama walang katapusan na hanay ng mga numero na ibinigay ng Euclid sa kanyang "Sangkap". Sa sandaling ito, kami ay patuloy ang kanilang paghahanap. Sa partikular, ang pinakamalaking ng isang bilang ng mga kilalang ² 74207281 - 1.

formula ni Euler

Kasama ang mga kuru-kuro ng walang hanggan maraming mga primes Euclid tinukoy at ang pangalawang teorama ang tanging posibleng paktorisasyon. Ayon sa ito sa anumang positibong integer ay ang produkto ng lamang ng isang set ng mga primes. Sa 1737, ang dakilang Alemang matematiko Leonhard Euler unang ipinahayag ng Euclid 's teorama sa infinity ng formula ipinapakita sa ibaba.

Ito ay tinatawag na ang zeta function, kung saan s - ang tapat at p ay ang lahat simpleng mga halaga. Mula ito nang direkta sinundan at pag-apruba ng pagiging natatangi ng ang pagpapalawak ng Euclid.

Riemann zeta function

ni Euler formula sa mas malapit inspeksyon ay lubos na pansin, tulad ng ibinigay sa pamamagitan ng ang ratio sa pagitan ng simple at integer. Pagkatapos ng lahat, sa kanyang kaliwang bahagi ay dumami sa walang hanggan maraming mga expression na umaasa lamang sa simple, at sa tamang halaga ay kaugnay sa lahat ng positive integers.

Riemann nagpunta sa Euler. Upang mahanap ang susi sa problema ng pamamahagi ng mga numero, ito ay iminungkahi upang tukuyin ang mga formula para sa parehong mga tunay at kumplikadong variable. Ito ay siya na mamaya ay naging kilala bilang ang Riemann zeta function. Sa 1859 ang siyentipiko-publish ang isang artikulo na pinamagatang "On ang bilang ng mga primes na hindi lumampas ng isang paunang natukoy na halaga", na summed up ang lahat ng kanilang mga ideya.

Riemann iminungkahi ang paggamit ng isang bilang ng Euler, isang lugal para sa lahat ng tunay na s> 1. Kung ang parehong formula ay ginagamit para sa komplikadong s, pagkatapos ay ang serye ay magkasalubong para sa anumang mga halaga ng variable sa totoong bahagi ay mas malaki kaysa 1. Riemann na ginagamit ng analytic pagpapatuloy ng mga pamamaraan sa pamamagitan ng pagpapalawak ng kahulugan ng zeta (s) para sa lahat ng mga kumplikadong numero, ngunit ang "ibinabato" unit. Ito ay hindi posible, dahil kung s = 1 zeta function pagtaas sa kawalang-hanggan.

praktikal na kahulugan

Ang tanong arises: kung ano ang kawili-wili at mahalagang zeta function, na kung saan ay mahalaga sa gawain ng Riemann sa null hypothesis? Tulad ng alam mo, sa sandaling ito hindi natagpuan ng isang simpleng pattern na naglalarawan sa pamamahagi ng mga de-kalidad na mga numero sa pagitan ng natural. Riemann magawang makita na ang bilang ng pi (x) ng de-kalidad na mga numero, na kung saan ay hindi nakahihigit sa x, ay ipinahayag sa pamamagitan ng pamamahagi ng mga nontrivial zero zeta function. Dagdag pa rito, ang Riemann teorya ay isang kinakailangang kondisyon upang patunayan ang pansamantalang pagsusuri ng mga tiyak na cryptographic algorithm.

Riemann teorya

Ang isa sa mga unang formulations ng matematikal na problema, hindi napatunayan na araw na ito, ay: trivia 0 zeta function - kumplikadong numero na may tunay na bahagi na katumbas ng ½. Sa ibang salita, sila ay nakaayos sa isang tuwid na linya Re s = ½.

Mayroon ding isang generalised Riemann teorya, na kung saan ay ang parehong pahayag, ngunit para sa generalization ng zeta-function, na kung saan ay tinatawag na ang Dirichlet (tingnan. Photo ibaba) L-function.

Sa formula χ (n) - isang de-numerong character (mod k).

pahayag Riemann 's ay ang tinatawag na null teorya, tulad ng ay na-verify para umayon sa mga umiiral na data sample.

Bilang Nagtalo ko Riemann

Tandaan German mathematician ay orihinal na formulated masyadong casually. Ang katotohanan ay na sa oras na iyon ang siyentipiko ay pagpunta upang patunayan ng isang teorama sa pamamahagi ng mga de-kalidad na mga numero, at sa kontekstong ito, ito teorya ay walang masyadong epekto. Gayunman, ang papel nito sa pagtugon sa maraming iba pang mga isyu ay napakalubha. Iyon ay kung bakit ang Riemann teorya para sa ngayon maraming mga siyentipiko makilala ang mga mahalagang mga unproven mga problema sa matematika.

Bilang ay sinabi, upang patunayan ang teorama sa pamamahagi ng buong Riemann teorya ay hindi kinakailangan, at medyo lohikal patunayan na ang tunay na bahagi ng anumang di-trivia zero ng zeta function ay sa pagitan ng 0 at 1. Ang property na ito ay nagpapahiwatig na ang kabuuan ng lahat ng 0-m zeta function na lumilitaw sa ang eksaktong formula sa itaas, - may hangganan pare-pareho. Para sa mga malalaking mga halaga ng x, maaari itong lahat ay mawawala. Ang tanging miyembro ng formula, na kung saan ay hindi magbabago kahit na sa mataas na x, x ay ang kanyang sarili. Ang natitirang bahagi ng kumplikadong mga tuntunin sa paghahambing sa mga ito asymptotically nawawala. Kaya, ang tinimbang na sum ay may gawi na x. katunayan na ito ay maaaring itinuturing bilang patunay ng katotohanan ng kasikatan bilang teorama. Kaya, ang mga zero ng Riemann zeta function lumitaw ang isang espesyal na papel. Ito ay upang patunayan na ang mga halagang ito ay hindi maaaring mag-ambag nang malaki sa pagpapalawak formula.

Riemann tagasunod

Ang trahedya kamatayan mula sa tuberculosis maiiwasan ang siyentipiko dalhin sa lohikal na pagtatapos ng programa. Gayunman, kinuha niya ang baton mula sa W-F. de la Vallee Poussin Zhak Adamar. Nang nakapag-iisa ng bawat isa sila'y makahiwalay kasikatan bilang teorama. Hadamard at Poussin pinamamahalaang upang patunayan na ang lahat ng nontrivial 0 zeta function ay matatagpuan sa loob ng mga kritikal na band.

Salamat sa mga gawain ng mga siyentipiko, isang bagong sangay ng matematika - analytical teorya ng mga numero. Mamaya, iba pang mga mananaliksik ay nakatanggap ng kaunti pa primitive patunay ng teorama ay nagtatrabaho sa Roma. Sa partikular, Pal Erdös at Atle Selberg binuksan kahit na nagkukumpirma kanyang mataas na kumplikadong kadena ng logic, hindi nangangailangan ng paggamit ng mga komplikadong pagtatasa. Gayunpaman, sa puntong ito ang ideya ng Riemann sa pamamagitan ng ilang mga mahalagang theorems ay nai-napatunayan, kabilang ang approximation sa maraming mga pag-andar ng numero ng teorya. Sa koneksyon na ito bagong trabaho Erdös at Atle Selberg halos anumang bagay na hindi apektado.

Ang isa sa mga pinakamadaling at pinaka-maganda ang katibayan ng ang problema ay natagpuan noong 1980 sa pamamagitan ng Donald Newman. Ito ay batay sa mga kilalang Cauchy 's teorama.

Threatened kung ni Riemann teorya ay ang batayan ng modernong cryptography

Data encryption lumitaw sa ang hitsura ng character, o sa halip, sila ang kanilang mga sarili ay maaaring regarded bilang ang unang code. Sa sandaling ito, mayroong isang buong bagong trend ng digital na cryptography, na kung saan ay nakikibahagi sa pag-unlad ng pag-encrypt algorithm.

Simple at "semisimple" number m. E. Yaong na kung saan ay lamang nahahati sa dalawang iba pang mga numero ng parehong klase, ay ang batayan ng isang public key system, na kilala bilang RSA. Ito ay may isang malawak na application. Sa partikular, ito ay ginagamit sa ang pagbuo ng isang electronic na lagda. Kung makipag-usap namin sa mga tuntunin ng mga magagamit na "tsarera", ang Riemann teorya ihinahayag ang pagkakaroon ng sistema sa pamamahagi ng mga de-kalidad na mga numero. Kaya, makabuluhang nabawasan ang paglaban ng cryptographic key, na kung saan nakasalalay ang kaligtasan ng mga online na transaksyon sa e-commerce.

Iba pa nalulutas na problema sa matematika

Kumpleto na artikulo ay nagkakahalaga ng paglalaan ng ilang mga salita sa iba pang mga gawain ng sanlibong taon. Kabilang dito ang:

• Pagkakapantay-pantay ng mga klase P at NP. Ang problema ay formulated tulad ng sumusunod: kung ang isang positibong sagot sa isang naibigay na tanong ay na-verify sa polinomyal oras, at pagkatapos ay ito tunay na niya ang kanyang sarili ang sagot sa tanong na ito ay maaaring matagpuan mabilis?
• Hodge haka-haka. Sa madaling salita ito ay maaaring ipinahayag bilang mga sumusunod: para sa ilang mga uri ng projective algebraic manifolds (espasyo) Hodge cycles ay kombinasyon ng mga bagay na ikaw ay may isang geometriko interpretasyon, ibig sabihin algebraic cycles ...
• Poincaré haka-haka. Ito ay ang tanging napatunayan sa mga problema na sandali milenyo. Ayon sa ito anumang tatlong-dimensional object sa pagkakaroon ng tukoy na mga katangian ng ang 3-dimensional globo, globo ay dapat na tumpak na pagpapapangit.
• Pag-apruba ng quantum Yang - Mills theory. Kailangan namin upang patunayan na quantum theory, ilagay sa harap sa pamamagitan ng mga siyentipiko sa space R ^4, doon ay isang 0-mass kapintasan para sa anumang mga simpleng pag-calibrate ng isang siksik na grupo G.
• Ang teorya ng Birch - Swinnerton-Dyer. Ito ay isa pang problema na may kaugnayan sa cryptography. Ito silbi ang patambilog kurva.
• Ang problema ng pag-iral at kinis ng mga solusyon ng Navier - Stokes equation.

Ngayon alam mo na ang Riemann teorya. Sa madaling salita, kami ay formulated at ang ilan sa mga iba pang mga layunin ng sanlibong taon. Ang katotohanan na ang mga ito ay nalutas o ito ay pinatunayan na mayroon silang walang solusyon - ito ay isang bagay ng oras. At ito ay malamang na hindi na kailangang maghintay masyadong mahaba, bilang ang matematika ay increasingly gamit computational kapangyarihan ng mga computer. Gayunman, hindi lahat ng bagay ay sumasailalim sa mga sining at upang malutas ang pang-agham na mga problema lalo na nangangailangan ng kawatasan at pagiging malikhain.