Ikalima-kuro sa Euclid 's: ang paraan ng pagsasalita

Ito ay pinaniniwalaan na mayroong 10 000 taon na ang nakakaraan, ang unang sibilisasyon ng tao. Kumpara sa edad ng ating planeta, na kung saan, ayon sa mga siyentipiko, ay tungkol sa 4,540,000 taon gulang, ito ay lamang ng isang maikling sandali. Para sa "moment" sangkatauhan ay gumawa ng isang malaking tumalon mula sa primitive stone tool upang interplanetary spacecraft. Hindi niya ay magiging posible, kung mula sa oras-oras sa planeta sana ay ipinanganak ng isang henyo, agham gumagalaw pasulong. Kabilang sa mga ito, siyempre, ay tumutukoy Euclid. Ang kanyang mga gawa ay naging ang pundasyon at isang malakas na puwersa para sa pag-unlad ng makabagong matematika.

Ang artikulong ito ay tungkol sa ang ikalima-kuro ng Euclid at kasaysayan nito.

Paano ginawa ang geometry

Dahil ang mga plots ng lupa ay ang paksa ng upa, ang kanilang laki at lugar ng pagbebenta at paghahatid kailangang ma-sinusukat, kabilang ang sa pamamagitan ng mga kalkulasyon. Bukod dito, tulad ng mga kalkulasyon ay maging kinakailangan sa konstruksiyon ng malakihang istraktura, pati na rin ang pagsukat sa dami ng mga iba't ibang mga item. Ang lahat ng ito ay naging kinakailangan ng 3-4 libong taon na ang nakakaraan sa Ehipto at Babilonia art pagtilingin. Ito ay empirically at ito ay isang koleksyon ng mga ilang daang mga halimbawa ng paglutas ng mga tiyak na mga problema, nang walang anumang ebidensya.

Bilang isang may sistema agham ng geometry na binuo sa sinaunang Greece. Kasing aga ng ikatlong siglo BC nagkaroon ng isang malaking supply ng mga katotohanan at katibayan pamamaraan. Subalit, may lumitaw ang problema sapat na malawak na upang ibuod ang nakolektang geometric na materyal. Siya sinubukan upang malutas ang Hippocrates Fedii at iba pang mga sinaunang pilosopong Griego. Gayunman, lohikal napatunayan na pang-agham na sistema nagkaroon lamang tungkol sa 300 taon BC. e. sa paglalathala ng mga "Principia".

Sino Euclid

Ancient Greece nagbigay sa mundo marami sa mga pinakamalaking philosophers at mga siyentipiko. Ang isa sa mga ito ay Euclid, na naging ang nagtatag ng Alexandrian paaralan ng matematika. Tungkol sa ang siyentipiko halos wala ay kilala. Ang ilang mga pinagkukunan magpahiwatig na ang mga batang mga hinaharap na ama ng modernong geometry aral sa sikat na paaralan ng Plato sa Athens, at pagkatapos ay ibabalik sa Alexandria, kung saan siya ay patuloy na pag-aralan matematika at optika, pati na rin ang pagbuo ng musika. Sa kanyang katutubong lungsod itinatag niya ang isang paaralan, kung saan, kasama ang mga mag-aaral at nilikha ang kanyang tanyag na trabaho, na para sa higit sa dalawang libong taon ay ang batayan para sa anumang aklat-aralin sa eroplano geometry at solid geometry.

"Sangkap" ng Euclid

Ang pangunahing at pinaka-unang may sistema ng trabaho sa geometry ay binubuo ng 13 volume. Ang unang apat at ika-anim na libro na pakikitungo sa eroplano geometry, at ika-11, ika-12 at ika-13 - solid geometry. Tulad ng para sa iba pang mga volume, ang mga ito ay nakatuon sa arithmetic, na kung saan ay mula sa punto ng view ng geometric postulates.

Ang papel na ginagampanan ng mga pangunahing gawain ng Euclid sa kasunod na pag-unlad ng matematika siyensiya ay hindi maaaring overestimated. Buhay pa papirus listahan ng ilan sa mga orihinal, pati na rin ang Byzantine manuskrito.

Sa Middle Ages, "Sangkap" ng Euclid ay pinag-aralan lalo na sa pamamagitan ng mga Arabo, na isaalang-alang ang mga ito ng isa sa mga pinakadakilang mga gawa ng tao-iisip at ang mga siyentipiko ng Damasco. Karamihan sa ibang pagkakataon mga gawang ito interesado sa mga Europeo. Gamit ang pagdating ng pag-print ng agham, kabilang ang Euclidean geometry hindi na kilala lamang sa mga hinirang. Matapos ang unang edition sa 1533, "Sangkap" ay magagamit sa lahat na nais upang maunawaan ang mundo, at may mga mas at mas bawat taon. Ang demand ay nilikha supply, kaya ito ay pinaniniwalaan na ang gawaing ito ay ang pangalawang pinaka-tinatanggap basahin sa pagitan ng mga monuments ng unang panahon pagkatapos ng Bibliya.

ang ilang mga katangian

Ang "Sangkap" ay naglalarawan ng panukat katangian ng three-dimensional, walang laman, walang limitasyong at isotropic espasyo, na kung saan ay karaniwang tinatawag na Euclidean. Ito ay itinuturing na maging isang arena kung saan may mga phenomena ng classical physics ng Galileo at Newton.

Elementarya heometriko bagay, ayon sa Euclid, ay ang punto. Ang pangalawang mahalagang konsepto - ang infinity ng espasyo, na kung saan ay nailalarawan sa pamamagitan ng ang unang tatlong postulates. Ang ika-apat na silbi sa pagkakapantay-pantay ng tamang mga anggulo. Sa pagsasaalang-alang sa ikalima-kuro sa Euclid 's, pagkatapos ito ay nagpasiya na ang mga katangian at ang geometry ng Euclidean space.

Ayon sa mga siyentipiko, klasiko geometry ama ay lumikha ng isang perpektong aklat-aralin, pag-aaral na kung saan ibukod ang anumang hindi pagkakaunawaan ng materyal dahil sa paraan ng kanyang pagtatanghal. Sa partikular, ang bawat isa ng lakas ng tunog sa "Sangkap" ay nagsisimula sa ang kahulugan ng mga konsepto nakatagpo sa unang pagkakataon. Sa partikular, mula sa unang pahina ng ika-1 ng aklat na ang mga reader natututo na ang isang tuldok, linya, tuwid at iba pa. Sa kabuuan ito ay may 23 mga kahulugan na kinakailangan para sa pag-unawa sa mga pangunahing probisyon ng materyal na iniharap sa ito pangunahing trabaho.

4 ang unang axiom at ipalagay na tama Euclid

Pagkatapos ng isang may-akda ng "Sangkap" nag-aalok ng mga resulta na ay tinatanggap na walang katibayan. Ang mga divides niya sa axioms at postulates. Ang unang pangkat ay binubuo ng 11 mga pahayag na ang mga tao na kilala intuitively. Halimbawa, ika-8 nangungusap na katotohanan na ang buong ay mas malaki kaysa sa bahagi, at ayon sa ang unang dalawang mga dami, bukod katumbas ng tatlo, katumbas ng bawat isa.

Higit pa rito, 5 ay nagiging sanhi ng Euclid postulates. Ang unang apat na basahin tulad ng sumusunod:

• mula sa anumang punto sa anumang iba pang, maaari kang gumuhit ng isang tuwid na linya;
• mula sa anumang sentro ng bawat radius ay posible upang ilarawan ang isang lupon;
• limitadong linya ay maaaring pahabain ang patuloy na sa isang tuwid na linya;
• lahat ng karapatan angles ay pantay.

ikalima-kuro ni Euclid

Para sa higit sa dalawang millennia, ang pahayag na ito nang paulit-ulit ay naging ang object ng pansin ng mga mathematicians. Ngunit una, kami ay pamilyar sa mga nilalaman ng ikalima-kuro ni Euclid. Kaya, sa modernong pagbabalangkas ito tunog bilang kung sa isang eroplano sa intersection ng dalawang tuwid na one-sided third-sum ng interior anggulo ng mas mababa sa 180 °, pagkatapos ay ang mga linyang ito habang patuloy na maaga o huli matugunan sa panig na iyon na kung saan ang dami (halaga) ng mas mababa sa 180 °.

Euclid 's ikalima na totoo, na ang mga salita sa iba't ibang mga pinagkukunan ay naiiba mula sa pasimula sanhi ng isport at nais na i-translate ito sa kategorya ng mga theorems sa pamamagitan ng paggawa ng isang tunog na patunay. Sa pamamagitan ng ang paraan, madalas itong papalitan sa pamamagitan ng isa pang expression, sa katunayan, imbento nasumpa at kilala rin bilang ang axiom ng Playfair. Ito bumabasa ng tulad ng sumusunod: sa isang eroplano sa pamamagitan ng isang punto na ay hindi nabibilang sa isang naibigay na linya ay maaaring humawak ng isa at lamang ng isang tuwid na linya parallel sa ito.

wika

Bilang na nabanggit, maraming mga siyentipiko Sinubukan iba't ibang ipahayag ang ideya ng ika-5 postulate ni Euclid. Maraming mga formulations ay medyo halata. Halimbawa:

• nagtatagpo linya magsalubong;
• mayroong hindi bababa sa isang parihaba, samakatuwid nga, 4-square na may apat na karapatan angles;
• ang bawat figure ay maaaring proportionally mas mataas na;
• doon ay isang tatsulok na kinakailangang mayroon man, nagkataon malaking lugar.

pagkukulang

Euclidean geometry ay ang pinakadakilang matematiko gumagana ng unang panahon at hanggang sa ika-19 siglo, ito ay naghari unchallenged sa matematika. Sa kabila nito, ang ilan sa kanyang mga pagkukulang ay nai-nabanggit kahit sa pamamagitan ng contemporaries ng may-akda, at mga sinaunang Griyego scholar, na nanirahan medyo mamaya. Sa partikular, ito ay nagdagdag ng isang bagong Archimedes axiom, ipinangalan sa kanya. Sinasabi nito mayroong isang integer n, na kung saan ay n · [AB]> [CD] para sa lahat ng mga segment AB at CD.

Sa karagdagan, ang mga siyentipiko na hinahangad upang mabawasan ang sistema ng Euclidean axioms at postulates. Upang gawin ito, kinuha nila ang ilan sa kanila out mula sa pahinga.

Kaya ito pinamamahalaang upang "alisin" ang ika-4 na saligan ng pagkakapantay-pantay ng tamang mga anggulo. Para sa kanya, isang mahigpit na katibayan ay natagpuan, kaya siya inilipat sa ang kategorya ng mga theorems.

History 5-kuro sa unang panahon at ang mga unang bahagi ng Middle Ages

Ang klasikal na pagbabalangkas ng mga pahayag na ito Euclidean geometry ay tila higit na mas mababa halata kaysa sa iba pang apat. Ito ay katotohanang ito pinagmumultuhan mathematicians.

Ang hadlang para sa ika-limang Euclidean-kuro ay ang kahulugan ng paralelismo ng dalawang linya ng isang at b, na nagpapahiwatig na ang kabuuan ng dalawang unilateral anggulo na nabuo sa pamamagitan ng ang intersection ng at b isang third tuwid na linya c, katumbas ng 180 degrees.

Ang unang pagtatangka upang patunayan ito bilang isang teorama ay ginawa sa pamamagitan ng mga sinaunang Griyego geomiter Posidonius. Siya iminungkahi na isaalang-alang ng isang direktang kahanay sa eroplano ng ang hanay ng lahat ng mga punto na may parehong distansiyang mula sa orihinal. Gayunpaman, kahit na ito ay hindi pinapayagan Posidonius mahanap ang katibayan 5th-kuro.

Hindi rin upang hindi mapakinabangan at ang mga pagtatangka ng iba pang mga mathematicians, kabilang ang medyebal, gaya ng Arabo ibn Korra at Khayyam. Ang tanging bagay na ay nai-nakakamit - ang paglitaw ng mga bagong postulates, na maaaring pinatunayan ayon sa mga iba't-ibang mga pagpapalagay.

Sa 18-19-ika siglo

Classical geometry ay patuloy na maging interesado sa matematika at sa ika-18 siglo. Sa partikular, sapat na malapit sa proof pagpaparis-kuro ay maaaring dumating French mathematician A. Legendre. Siya wrote isang natitirang aklat-aralin "Mga Sangkap ng geometry", na kung saan ay tungkol sa 150 taon ay ang punong-guro ng pagtuturo sa matematika sa Russian Empire paaralan. Dito ang siyentipiko ay nagbigay tatlong mga pagpipilian patunayan Euclidean pagpaparis axiom, ngunit lahat sila ay naka-out na mali.

Sa pamamagitan ng unang bahagi ng ika-19 siglo, ang ideya ng paglikha ng isang non-Euclidean geometry. Ang unang paglalarawan ng sistema, independiyenteng ng ang ikalima-kuro, humantong sa isang militar engineer J. Bolyai. Ngunit siya ay takot ng kanyang pagkatuklas at hindi ituloy ang ideya, paniniwalang ito mali. Tagumpay ay hindi nagawang upang makamit at ang dakilang German mathematician gauss.

pambihirang tagumpay

Para sa higit sa 2000 taon ng ikalima-kuro ni Euclid, ang patunay ng kung saan sinubukang hanapin daan-daang mga siyentipiko, nanatili ang numero unong problema sa matematika. Pambihirang tagumpay na ginawa Russian mathematician NI Lobachevsky. Para sa kanya ang mundo unang pinamamahalaang upang ilarawan ang mga katangian ng mga tunay na space, na nagpapatunay na Euclidean geometry "gumagana" lamang sa partikular na kasong ito ng kanyang sistema.

N. I. Lobachevsky una nagpunta down ang parehong landas bilang na ng kanyang mga kasamahan. Sinusubukang upang patunayan ang ika-5 postulate, hindi siya ay nagtagumpay. Pagkatapos ay ang scientist tumanggi Euclidean representasyon, ayon sa kung saan ang mga anggulo ng isang tatsulok sum katumbas ng 180 degrees. Susunod, siya ay sinubukan upang patunayan na ito assertion sa pamamagitan ng pagkakasalungatan at got ang isang bagong paraan ng pagsasalita para sa ikalima-kuro. Ngayon, inamin niya ang pagkakaroon ng ilang mga linya parallel sa ito, at ang pagpasa sa pamamagitan ng isang punto nakahiga sa labas linyang ito.

bagong geometry

Ito ay hindi gumagawa ng kahulugan upang talakayin kung sino ay tapos na higit para sa matematika. Ang papel na ginagampanan ng Euclid at Lobachevsky maihahambing na impluwensiya sa pagbuo at pag-unlad ng Newton at Einstein pisika. Kasabay nito, ang mga bagong, ganap na geometry ay posible upang ituring ang pagkaunawa ng espasyo, breaking ang layo mula sa klasikal na paraan "ay maaaring maunawaan lamang kung ano ang maaaring maging pantay." Ngunit tulad ng isang diskarte ensayado sa agham para sa mga libu-libong taon.

Sa kasamaang palad, ang ideya ng Lobachevskii geometry ay hindi tinanggap at naintindihan sa pamamagitan ng kanyang mga contemporaries. Sa partikular, ang kanyang mga mag-aaral ay hindi ipinagpatuloy ang gawain ng ang siyentipiko, at ang pagbuo ng mga di-Euclidean geometry ay naantala para sa ilang mga dekada.

Ang ilang mga tampok ng Lobachevskii theory

Upang maunawaan ang mga bagong geometry, ito ay kinakailangan upang isaalang-alang ang cosmic infinity. Sa katunayan, ito ay mahirap na isipin na ang kalakhan ng uniberso ay ang kabuuan ng linear puwang.

Lobachevsky geometry ay ginagamit upang ilarawan hubog na mga puwang na nilikha sa pamamagitan ng gravitational field ng mga kalawakan. Siya pinapayagan na umalis mula sa ang paraan ng ang pansin ng lahat ng mga numero sa "tungkol sa right" silindro, bilog, pyramid, o anumang kumbinasyon ng mga hugis. Para sa, halimbawa, sa katotohanan, ang ating planeta - walang bola, at ang geoid, ibig sabihin, isang figure na kung saan ay nakuha sa pamamagitan ng contouring ang panlabas na tabas ng lithosphere (matapang na shell) ng Earth ...

Sa tunay na buhay, may mga analogues ng hindi tuwid na mga puwang ng uniberso, na kung saan ay nagbibigay-daan upang ipakilala ang posibilidad ng pag-iral ng ilang mga parallel na linya ng pagpasa sa pamamagitan ng parehong point din. Sa partikular, ito tuwid ibabaw sa tatlong mga uri na inilalaan Italian geomiter Beltrami at pinangalanan E. pseudosphere.

Ang karagdagang pag-unlad ng teorya ng Lobachevsky

Natitirang Russian ay hindi ang isa lamang kung sino ang hindi dapat sariling katotohanan ng Euclidean geometry. Sa partikular, ang mga mathematician Riemann sa 1854 ilagay sa harap ang ideya ng ang posibilidad ng pag-iral ng mga puwang ng zero, positibo at negatibong kurbada. Ito ay sinadya na maaari kang lumikha ng isang walang-katapusang bilang ng mga iba't ibang mga non-classical na geometries.

Sa posisyon ni Riemann, na nag-aral pangunahin space na may positibong kurbada, ika-5-kuro ng Euclid tunog lubos na hindi inaasahan. Ayon sa kanyang mga ideya, sa pamamagitan ng isang punto sa labas ng isang naibigay na linya ay hindi maaaring humawak ng anumang linya kahilera na ito.

Lubos na iba't-ibang ay ang kaso sa mga puwang ng zero, negatibo at positibong kurbada sa teorya ng Klein. Sa partikular, sa unang kaso ang mga ito ay inilarawan sa pamamagitan ng isang paparabola geometry, isang espesyal na kaso kung saan ay ang classical, ang pangalawang - sundin Lobachevskian mga ideya, at ang ikatlong - pare-pareho sa mga inilarawan sa pamamagitan ng Riemann.

Kasunod ng paglalathala ng Alberta Eynshteyna Theory of Relativity, ang pagsumite ng mga naturang mga puwang makadagdag sa data na isinasaalang-alang ang pagkakaroon ng apat na nagtutulungan at pagpapalit ng sukat - timbang, kapangyarihan, bilis at oras.

sa kasanayan

Kung pupunta ka sa mga tao-unawa ng espasyo, sa loob ng orbit ng Daigdig para sa isang higanteng tatsulok ng ang pinakamalaking posibleng halaga ng mga posibleng paglihis ng interior anggulo ng 180 degrees mula sa classic ay lamang ng apat na millionths ng isang segundo. Ang halagang ito ay lampas sa kakayahan ng homo sapiens, kaya "lupa" na demand ay Euclidean geometry.

Ito ay nananatiling upang maghintay hanggang kondisyon ay nilikha na nagbibigay-daan upang makakuha ng pang-eksperimentong data upang kumpirmahin o pasinungalingan ang teorya ng N. Lobachevsky at Riemann sa buong kalawakan.

Ngayon alam mo na declares ikalima-kuro ni Euclid at kasaysayan nito, na higit na nakapagtuturo, at nagbibigay-daan sa amin upang bakas ang ebolusyon ng isip ng tao sa loob ng nakaraang 2300 taon.