Ang indefinite integral. Pag-compute ng indefinite integrals

Isa sa mga pangunahing seksyon ng matematikal na pagsusuri ay ang integral calculus. Sinasaklaw nito ang isang napaka-malawak na larangan ng mga bagay, kung saan ang unang - ito ay ang indefinite integral. Posisyon na ito ay nakatayo bilang isang susi iyon ay pa rin sa mataas na paaralan ay nagpapakita ng isang pagtaas ng bilang ng mga prospects at mga pagkakataon, na naglalarawan ng mas mataas na matematika.

hitsura

Sa unang tingin, tila lubos na mahalaga sa modernong, pangkasalukuyan, ngunit sa kasanayan ito ay lumiliko out na siya ay dumating pabalik sa 1800 BC. Tahanan ng opisyal na itinuturing ang Ehipto bilang ay hindi umabot sa amin ng mas maaga katibayan ng pag-iral nito. Ito ay dahil sa kakulangan ng impormasyon, ang lahat ng mga habang nakaposisyon lamang bilang isang hindi pangkaraniwang bagay. Siya sandaling muli kinukumpirma ang antas ng siyentipikong pag-unlad ng mga bayan ng mga oras na iyon. Sa wakas, ang mga gawa ay natagpuan ang mga sinaunang Griyego mathematicians, nakikipag-date mula sa ika-4 na siglo BC. Sila ilarawan ang mga pamamaraan na ginamit kung saan ang indefinite integral, ang kakanyahan ng kung saan ay upang mahanap ang volume o lugar ng isang curvilinear na hugis (tatlong-dimensional at dalawang-dimensional plane, ayon sa pagkakabanggit). pagkalkula ay batay sa mga prinsipyo ng dibisyon ng ang orihinal na figure sa katiting na katiting na bahagi, sa kondisyon na ang lakas ng tunog (area) ay naka-kilala sa kanila. Sa paglipas ng panahon, ang paraan ay lumago, Archimedes ginamit ito upang mahanap ang lugar ng isang parabola. Katulad na mga kalkulasyon sa parehong oras upang magsagawa ng pagsasanay sa sinaunang Tsina, kung saan sila ay ganap na independiyenteng mula sa salitang Griyego na kapwa science.

pag-unlad

Ang susunod na pambihirang tagumpay sa XI siglo BC ay naging ang gawain ng ang Arab scholar "kariton" Abu Ali al-Basri, na hunhon ang mga hangganan ng na kilala, ay nagmula sa integral formula para sa pagkalkula ng mga suma ng mga halaga at degree mula sa una hanggang sa ika-apat na, nag-aaplay para sa mga kilalang sa amin induction paraan.
Isip ng ngayon ay admired sa pamamagitan ng mga sinaunang taga-Ehipto nilikha ang kahanga-hangang monumento nang walang anumang mga espesyal na mga kasangkapan, maliban para sa na ng kanilang sariling mga kamay, ngunit ay hindi isang power baliw siyentipiko ng oras na hindi kukulangin isang himala? Kumpara sa kasalukuyang panahon ng kanilang buhay ay tila halos primitive, ngunit ang desisyon ng indefinite integrals deduced sa lahat ng dako at ginagamit sa kasanayan para sa karagdagang pag-unlad.

Ang susunod na hakbang ay naganap sa XVI siglo, kapag ang Italian mathematician Cavalieri dinala mapaghihiwalay na paraan, na kung saan kinuha ang Per Ferma. Ang dalawang pagkatao inilatag ang pundasyon para sa modernong integral calculus, na kung saan ay kilala sa sandaling ito. Sila ay nakatali sa mga konsepto ng pagkita ng kaibhan at integration, na dati ay itinuturing na self-contained unit. Sa pamamagitan ng at malaki, ang matematika ng oras na iyon ay fragmented particle natuklasan umiiral sa pamamagitan ng kanilang sarili, na may limitadong paggamit. Way upang makiisa at makahanap ng mga karaniwang lupa ay ang tanging tunay na sa sandaling ito, salamat sa kanya, ang mga modernong matematikal na pagsusuri ay nagkaroon ng pagkakataon na lumalaki at bumuo.

Sa pamamagitan ng pagpasa ng oras nagbabago ang lahat ng bagay at ang mahalagang simbolo rin. Sa pamamagitan ng at malalaking, ito ay itinalaga siyentipiko na sa kanyang sariling paraan, halimbawa, Newton ginagamit ng isang parisukat na icon, na maglagay ng integrable function, o maglagay lamang ng sama-sama. pagkakaiba na ito ay tumagal ng hanggang sa XVII siglo, kapag ang isang palatandaan para sa buong teorya ng matematikal na pagsusuri scientist Gotfrid Leybnits ipinakilala tulad ng isang character na pamilyar sa amin. Pahabang "S" ay aktwal na batay sa titik ng alpabetong Romano, since nagsasaad ng kabuuan ng primitives. Ang pangalan ng integral nakuha salamat sa Jakob Bernoulli, pagkatapos ng 15 taon.

Ang pormal na kahulugan

Ang indefinite integral ay depende sa kahulugan ng primitive, kaya isaalang-alang namin ito sa unang lugar.

Antiderivative - ay ang kabaligtaran function ng mga hinalaw na, sa pagsasanay na ito ay tinatawag na primitive. Kung hindi: primitive function ng d - ay isang katangian D, kung saan ay ang hinangong v <=> V '= v. Search primitive ay upang makalkula ang indefinite integral, at ang mismong proseso ay tinatawag na integration.

halimbawa:

Ang function na s (y) = y ^3, at ang kanyang primitive S (y) = (y ^4/4).

Ang hanay ng lahat ng mga primitives ng pag-andar - ito ay isang walang taning na integral, naitala ito bilang mga sumusunod: ∫v (x) dx.

Sa pamamagitan ng kabutihan ng ang katunayan na ang V (x) - Ilan lamang primitive orihinal na function, expression humahawak: ∫v (x) dx = V (x) + C, kung saan C - pare-pareho. Sa ilalim ng arbitrary pare-pareho ay tumutukoy sa anumang pare-pareho, dahil ang kanyang mga kinopyang ay zero.

mga pag-aari

Ang mga ari-arian may nagmamay ari ng indefinite integral, mahalagang batay sa kahulugan at mga katangian ng mga derivatives.
Isaalang-alang ang pangunahing mga punto:

• integral hinalaw ng primitive ay primitive mismo plus isang arbitrary pare-pareho C <=> ∫V '(x) dx = V (x) + C;
• hinangong ng kabuuan ng isang function ay ang orihinal na function na <=> (∫v (x) dx) '= v (x);
• pare-pareho ay nakuha out mula sa ilalim ng integral sign <=> ∫kv (x) dx = k∫v (x) dx, kung saan k - ay arbitrary;
• integral, na kung saan ay nakuha mula sa kabuuan ng mga identically katumbas ng sum ng integrals <=> ∫ (v (y) + w (y)) dy = ∫v (y) dy + ∫w (y) dy.

Ang huling dalawang mga ari-arian ay maaaring concluded na ang walang taning integral ay linear. Dahil sa ito, mayroon kaming: ∫ (kv (y) dy + ∫ lw (y)) dy = k∫v (y) dy + l∫w (y) dy.

Upang makita ang mga halimbawa ng pag-aayos ng solusyon indefinite integrals.

Kailangan mong hanapin ang integral ∫ (3sinx + 4cosx) dx:

• ∫ (3sinx + 4cosx) dx = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx - 3cosx + C.

Mula sa mga halimbawa ay maaaring nating sabihin na hindi mo alam kung paano upang malutas ang indefinite integrals? Lamang mahanap ang lahat ng primitives! Ngunit ang paghahanap para sa mga prinsipyo na tinalakay sa ibaba.

Pamamaraan at mga halimbawa

Upang malutas ang mga integral, maaari kang resort sa mga sumusunod na paraan:

• handa na upang samantalahin ng talahanayan;
• pagsasama ng mga bahagi;
• isinama sa pamamagitan ng pagpapalit ng variable;
• summing up sa ilalim ng pag-sign ng mga kaugalian.

talahanayan

Ang pinaka-simple at kasiya-siya paraan. Sa sandaling ito, matematikal na pagsusuri ay maaaring magyabang lubos na malawak na mga talahanayan, na kung saan na-spell out ang mga pangunahing formula ng walang katiyakan integrals. Sa ibang salita, may mga template nagmula nakasalalay sa iyo at maaari ka lamang samantalahin ng mga ito. Narito ang listahan ng mga pangunahing posisyon ng mesa, na kung saan ay maaaring ipakita sa halos bawat pagkakataon, ay may solusyon:

• ∫0dy = C, kung saan C - pare-pareho;
• ∫dy = y + C, kung saan C - pare-pareho;
• ∫y ⁿ dy = (y ^{n +1)} / (n +1) + C, kung saan C - isang pare-pareho, at n - bilang naiiba mula sa pagkakaisa;
• ∫ (1 / y) dy = ln | y | + C, kung saan C - pare-pareho;
• ^{∫e y dy = e y + C} , na kung saan ang C - pare-pareho;
• ^{∫k y dy = (k y /} ln k) + C, na kung saan ang C - pare-pareho;
• ∫cosydy = siny + C, kung saan C - pare-pareho;
• ∫sinydy = -cosy + C, kung saan C - pare-pareho;
• ∫dy / cos ² y = tgy + C, kung saan C - pare-pareho;
• ∫dy / sin ² y = -ctgy + C, kung saan C - pare-pareho;
• ∫dy / (1 + y ²⁾ = arctgy + C, kung saan C - pare-pareho;
• ∫chydy = shy + C, kung saan C - pare-pareho;
• ∫shydy = chy + C, kung saan C - pare-pareho.

Kung kinakailangan, gumawa ng isang pares ng mga hakbang na humantong integrand sa isang view ng hugis ng mga talaan at tamasahin ang tagumpay. EXAMPLE: ∫cos (5x -2) dx = 1 / 5∫cos (5x - 2) d (5x - 2) = 1/5 x kasalanan (5x - 2) + C.

Ayon sa desisyon nito ay malinaw na halimbawa ng isang talahanayan integrand ay kulang multiplier 5. Nagdagdag kami ng mga ito sa parallel na may multiply ito sa pamamagitan ng 1/5 na pangkalahatang expression ay hindi baguhin.

Pagsasama-sama sa pamamagitan Parts

Isaalang-alang ang dalawang mga function - z (y) at x (y). Dapat silang maging patuloy na differentiable sa kanyang domain. Sa isang pagkita ng kaibhan properties kami ay may: d (xz) = xdz + ZDX. Pagsasama ng magkabilang panig, makakakuha tayo: ∫d (xz) = ∫ (xdz + ZDX) => zx = ∫zdx + ∫xdz.

Muling pagsusulat ng mga nagresultang equation, makakakuha tayo ng formula, na naglalarawan ng paraan ng pagkakabuo ng mga bahagi: ∫zdx = zx - ∫xdz.

Bakit ito ay kinakailangan? Ang katotohanan na ang ilan sa mga halimbawa ito ay posible upang gawing simple, sabihin nating, upang mabawasan ∫zdx ∫xdz, kung ang huli ay malapit sa anyo hugis ng mga talaan. Gayundin, ang formula ay maaaring gamitin ng higit sa isang beses, para sa pinakamainam na mga resulta.

Paano upang malutas indefinite integrals sa ganitong paraan:

• kinakailangan upang makalkula ∫ (s + 1) e ^2s ds

∫ (x + ^{1) e 2s ds = {z =} s + 1, dz = ds, y = 1 ^{/ 2e 2s, dy = e 2x} ds} = ((s + 1) e ^2s) / 2-1 / 2 ∫e ^2s dx = ((s + 1) e ^2s) / 2-e ^2s / 4 + C;

• dapat kalkulahin ∫lnsds

∫lnsds = {z = LNS, dz = ds / s, y = s, dy = ds} = slns - ∫s x ds / s = slns - ∫ds = slns -s + C = s (LNS-1) + C.

Pinapalitan ang variable

Ang alituntuning ito ng paglutas ng indefinite integrals ay hindi mas mababa sa demand na kaysa sa nakaraang dalawang, bagaman kumplikado. Ang pamamaraan ay tulad ng sumusunod: Hayaan V (x) - ang integral ng ilang mga pag-andar v (x). Sa kaganapan na sa kanyang sarili integral sa Halimbawa slozhnosochinenny pagdating, ay malamang na makakuha ng nalilito at pumunta down ang maling solusyon landas. Upang maiwasan ito pagsasanay pagbabago mula sa ang variable x sa z, kung saan ang pangkalahatang expression visually pinasimple habang pinapanatili ang z depende sa x.

Sa matematikal na termino, ito ay ang mga sumusunod: ∫v (x) dx = ∫v (y (z)) y '(z) dz = V (z) = V (y -1 (x)), kung saan ang x = y ( z) - pagpapalit. At, siyempre, ang kabaligtaran function z = y ^-1 (x) na ganap na naglalarawan ng kaugnayan at ang ugnayan ng mga variable. Mahalagang tala - ang mga kaugalian dx kinakailangang papalitan ng isang bagong kaugalian dz, dahil sa ang pagbabago ng variable sa indefinite integral ay nagsasangkot ng pagpapalit nito sa lahat ng dako, hindi lamang sa integrand.

halimbawa:

• Dapat hanapin ∫ (s +1) / (mga ² + 2s - 5) ds

Ilapat ang pagpapalit z = (s +1) / (mga ² + 2s-5). Pagkatapos dz = 2sds = 2 + 2 (mga +1) ds <=> (s +1) ds = dz / 2. Bilang isang resulta, ang mga sumusunod na expression, na kung saan ay mas madali upang makalkula:

∫ (s +1) / (mga ² + 2s-5) ds = ∫ (dz / 2) / z = 1 / 2ln | z | + C = 1 / 2ln | s ² + 2s-5 | + C;

• dapat mong mahanap ang integral ∫2 ^s e ^s dx

Upang malutas ang muling pagsulat sa mga sumusunod na form:

^{∫2 s e s ds = ∫ (} 2e) s DS.

Magpakilala namin sa pamamagitan ng = 2e (kapalit ng argument ang hakbang na ito ay hindi, pa rin ito ay s), ibigay natin ang ating tila kumplikado integral sa mga pangunahing hugis ng mga talaan form na ito:

^{∫ (2e) s ds = ∫a} s ds = a s / lna + C = (2e) s / ln (2e) + C = 2 ^s e ^s / ln (2 + lne) + C = 2 ^s e ^s / (LN2 +1) + C.

Lagom ng isang kaugalian sign

Sa pamamagitan ng at malaki, ang pamamaraan na ito ng walang katiyakan integrals - ang kakambal ni sa prinsipyo ng pagbabago ng variable, ngunit may mga pagkakaiba sa proseso ng pagpaparehistro. Ipaalam sa amin isaalang-alang nang mas detalyado.

Kung ∫v (x) dx = V (x) + C at y = z (x), pagkatapos ay ∫v (y) dy = V (y) + C.

Kasabay nito hindi natin dapat kalimutan ang trivia mahalaga transformations, bukod sa kung saan:

• dx = d (x + a), na siya naman - ang bawat isa pare-pareho;
• dx = (1 / a) d (pagbabawas + b), kung saan ang isang - pare-pareho muli, ngunit hindi zero;
• Xdx = 1 / 2d (x ² + b);
• sinxdx = -d (cosx);
• cosxdx = d (sinx).

Kung isaalang-alang namin ang pangkalahatang kaso kung saan namin kinakalkula ang indefinite integral, halimbawa ay maaaring subsumed sa ilalim ng pangkalahatang formula w '(x) dx = dw (x).

mga halimbawa:

• Dapat hanapin ∫ (2s + 3) ² ds, DS = 1 / 2d (2s + 3)

∫ (2s + 3) ² ds = 1 / 2∫ (2s + 3) ² d (2s + 3) = (1/2) x ((2s + 3) ²⁾ / 3 + C = (1/6) x (2s + 3) ² + C;

∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (coss) / coss = -ln | coss | + C.

online na tulong

Sa ilang mga kaso, ang mga kasalanan ng na kung saan ay maaaring maging o katamaran, o isang kagyat na pangangailangan, maaari mong gamitin ang online na senyas, o sa halip, gamitin ang isang calculator indefinite integrals. Sa kabila ng maliwanag pagiging kumplikado at kontrobersyal na likas na katangian ng integrals, ang desisyon ay napapailalim sa kanilang mga tiyak na algorithm, na kung saan ay batay sa mga prinsipyo ng "kung wala ka ... pagkatapos ...".

Of course, isang partikular na buhol-buhol na mga halimbawa ng mga tulad ng isang calculator ay hindi master, pati na mayroong mga kaso kung saan ang isang desisyon ay may upang mahanap ang isang artipisyal na "sapilitang" sa pamamagitan ng pagpapasok ng ilang mga elemento sa proseso, dahil ang mga resulta ay halata na paraan upang maabot. Sa kabila ng kontrobersyal na likas na katangian ng ang pahayag na ito, ito ay totoo, bilang ang matematika, sa prinsipyo, isang abstract agham, at ang kanyang pangunahing layunin ay isinasaalang-alang ang pangangailangan upang magbigay ng kapangyarihan ng mga hanggahan. Sa katunayan, para sa isang makinis na run-in sa theories ay napakahirap upang ilipat up at evolve, kaya huwag ipagpalagay na ang mga halimbawa ng paglutas ng indefinite integrals, na nagbigay sa amin - ito ay ang taas ng mga pagkakataon. Ngunit bumalik sa mga teknikal na bahagi ng mga bagay. Hindi bababa sa upang suriin ang mga kalkulasyon, maaari mong gamitin ang serbisyo kung saan ito ay isinulat sa amin. Kung may isang kailangan para sa awtomatikong pagkalkula ng mga kumplikadong expression, at pagkatapos ay hindi nila kailangang gumamit ng isang mas malubhang software. Dapat bigyang-pansin lalo na sa kapaligiran MatLab.

application

Ang desisyon ng indefinite integrals sa unang tingin ay tila ganap na hiwalay mula sa katotohanan, dahil ito ay mahirap na makita ang halata na paggamit ng mga eroplano. Sa katunayan, direkta gamitin ang mga ito kahit saan hindi ka maaaring, ngunit ang mga ito ay isang kinakailangang intermediate sangkap sa proseso ng withdrawal ng mga solusyon na ginagamit sa kasanayan. Kaya, ang pagsasama ng pabalik pagkita ng kaibhan, sa gayon ay aktibong kalahok sa proseso ng paglutas ng equation.
Kaugnay nito, ang mga equation magkaroon ng isang direktang epekto sa desisyon ng mechanical problema, trajectory pagkalkula at thermal kondaktibiti - sa madaling salita, lahat ng bagay na bumubuo sa kasalukuyan at humuhubog sa hinaharap. Walang taning na integral, mga halimbawa ng kung saan kami ay isinasaalang-alang sa itaas, trivia lamang sa unang sulyap, bilang isang batayang upang magsagawa ng higit pa at higit pang mga bagong pagtuklas.