Real mga numero at ang kanilang mga ari-arian

Pythagoras inaangkin na ang bilang ay ang pundasyon ng mundo sa isang par na may mga pangunahing elemento. Plato naniniwala na ang bilang ng mga link sa mga kababalaghan at ang mga noumenon, na tumutulong na malaman, na weighed at upang gumuhit ng mga konklusyon. Arithmetic ay mula sa salitang "arifmos" - ang numero, ang panimulang punto sa matematika. Ito ay posible upang ilarawan ang anumang bagay - mula sa pangunahing kaalaman patungo sa apple abstract puwang.

Ay nangangailangan ng isang kadahilanan sa pag-unlad

Sa unang yugto ng pag-unlad ng lipunan ang mga pangangailangan ng mga tao pinipigilan ng ang pangangailangan upang panatilihin ang puntos - .. Isang bag ng grain, dalawang butil bag, atbp Upang gawin ito, ito ay natural na mga numero, ang hanay ng mga na kung saan ay isang walang-katapusang pagkakasunod-sunod ng positive integers N.

Sa ibang pagkakataon, ang pag-unlad ng matematika bilang isang agham, ito ay kinakailangan sa mga tiyak na larangan ng integer Z - kasama dito ang mga negatibong mga halaga at zero. Ang kanyang hitsura sa domestic antas, ito ay provoked sa pamamagitan ng katotohanan na ang paunang accounting ay nagkaroon upang kahit papaano ay ayusin ang mga utang at pagkalugi. Sa isang pang-agham na antas, negatibong numero ay may ginawa ito posible upang malutas ang simpleng linear equation. Kabilang sa iba pang mga bagay, ito ay Ngayon ay posible sa imahen ng isang trivia coordinate system, ie. A. Nagkaroon ng isang punto ng reference.

Ang susunod na hakbang ay ang kailangan upang ipasok fractional mga numero, dahil ang agham ay hindi tumayo pa rin, higit pa at higit pang mga bagong tuklas humingi ng isang manilay-nilay batayan para sa isang bagong push paglago. Sa gayo'y nagkaroon ng isang patlang ng katuwiran numero Q.

Sa wakas, hindi na matugunan ang mga pangangailangan ng pagkamaykatwiran, dahil ang lahat ng mga bagong mga natuklasan ay nangangailangan ng pagbibigay-katarungan. Nagkaroon ng isang patlang ng mga tunay na mga numero ng R, ang mga gawa ng Euclid 's incommensurability ng mga tiyak na dami dahil sa kanilang kalabagan sa katwiran. Iyon ay, ang mga sinaunang Griyego dalubbilang nakaposisyon hindi lamang numero bilang isang pare-pareho, ngunit bilang isang abstract na halaga na kung saan ay nailalarawan sa pamamagitan ng ang ratio ng incommensurable magnitudes. Dahil sa ang katunayan na may mga tunay na mga numero, "Nakita namin ang mga ilaw" na mga halaga tulad ng "pi" at "e", nang walang kung saan modernong matematika ay hindi maaaring kinuha lugar.

Ang huling makabagong ideya ay isang kumplikadong numero C. Ito ay sumagot sa isang serye ng mga tanong at pinabulaanan dati nang pumasok postulates. Dahil sa mabilis na pag-unlad ng algebra kinalabasan ay predictable - na may tunay na mga numero, ang desisyon ng maraming mga problema ay hindi posible. Halimbawa, salamat sa mga komplikadong mga numero stood out string theory at kaguluhan pinalawak equation ng haydrodinamika.

Itakda Teorya. kantor

Ang konsepto ng kawalang-hanggan ay palaging sanhi kontrobersya, tulad ng ito ay imposible upang patunayan o pabulaanan. Sa konteksto ng matematika, na kung saan ay pinapatakbo mahigpit na napatunayan postulates, ito manifested mismo pinaka-malinaw naman, mas na ang mga teolohiko aspeto pa rin weighed in science.

Gayunman, sa pamamagitan ng gawain ng dalubbilang Georg Cantor lahat ng oras ay nahulog sa lugar. Siya na ang ang set na walang hanggan doon ay isang walang-katapusang set, at na ang mga patlang R ay mas malaki sa larangan N, hayaan silang dalawa at walang katapusan. Sa gitna ng siglo XIX, ang kanyang mga ideya sa publiko na tinatawag na katarantaduhan at isang krimen laban sa mga klasikal na hindi nababago canons, ngunit oras ay ilagay ang lahat sa lugar nito.

Basic properties sa parang R

Ang aktwal na mga numero ay hindi lamang magkaroon ng parehong mga katangian bilang ang podmozhestva na kasama nila, ngunit ay pupunan sa pamamagitan ng iba pang masshabnosti sa pamamagitan ng kabutihan ng kanyang mga sangkap:

• Zero R. umiiral at nabibilang sa larangan c + = c 0 para sa anumang c ng R.
• Zero umiiral at nabibilang sa larangan R. c x 0 = 0 para sa anumang c ng R.
• Ang ratio c: d kapag d ≠ 0 umiiral at may-bisa para sa anumang c, d ng R.
• Field R order, ibig sabihin, kung c ≤ d, d ≤ c, pagkatapos c = d para sa anumang c, d ng R.
• Bilang karagdagan sa larangan na R ay commutative, hal c + d = d + c, para sa anumang c, d ng R.
• Multiplikasyon sa larangan na R ay commutative, hal x c x d = d c para sa lahat ng c, d ng R.
• Bilang karagdagan sa larangan ng R ay nag-uugnay hal (c + d) + f = c + (d + f) para sa anumang c, d, f ng R.
• Multiplikasyon sa larangan ng R ay nag-uugnay hal (c x D) x f = c x (d x f) para sa anumang c, d, f ng R.
• Para sa bawat bilang ng mga patlang R tapat na ito doon, tulad na c + (c) = 0, kung saan c, c mula sa R.
• Para sa bawat bilang ng mga patlang R umiiral kabaligtaran nito, tulad na c x c ^-1 = 1 kung saan c, c ^-1 of R.
• Unit umiiral at nabibilang sa R, upang ang mga c x 1 = c, para sa anumang c ng R.
• Ito ay may kapangyarihan na batas sa pamamahagi, kaya na c x (d + f) = c x d + c x f, para sa anumang c, d, f ng R.
• Ang R field ay zero ay hindi katumbas ng pagkakaisa.
• Field R ay palipat: kung c ≤ d, d ≤ f, at pagkatapos ay c ≤ f para sa anumang c, d, f ng R.
• Sa R at karagdagan pagkakasunod-sunod ay interconnected: kung c ≤ d, pagkatapos ay c + f ≤ d + f para sa lahat ng c, d, f ng R.
• Sa pagkakasunud-sunod ng R at pagpaparami naka-link: kung 0 ≤ c, 0 ≤ d, pagkatapos ay 0 ≤ c x d para sa anumang c, d ng R.
• Tulad ng negatibo at positibong tunay na numero ay tuloy-tuloy na, ibig sabihin, para sa anumang c, d ng R f, may umiiral mula R, na c ≤ f ≤ d.

larangan Module R

Ang tunay na numero ay kinabibilangan ng tulad ng isang bagay bilang isang module. Mahalaan ito bilang ang | f | para sa anumang mga f in R. | f | = F, kung 0 ≤ f at | f | = F, kung 0> f. Kung isaalang-alang namin ang mga module tulad ng isang geometric na halaga, ito ay isang distansya - hindi bale, "nakapasa" sa iyo bilang zero sa negatibong sa positibo o pasulong.

Complex at tunay na numero. Ano ang mga pagkakatulad at pagkakaiba?

Sa pamamagitan ng at malaki, masalimuot at tunay na mga numero - ang mga ito ay isa at sa parehong, maliban na ang unang sumali sa haka-haka unit ko, ang parisukat na kung saan ay katumbas ng -1. Elemento field R at C ay maaaring kinakatawan ng mga sumusunod na formula:

• c = d + f x i, kung saan d, f nabibilang sa larangan ng R, at i - haka-haka unit.

Upang makuha ang c ng R f sa kasong ito lamang ipinapalagay na maging zero, ibig sabihin, mayroon lamang ang tunay na bahagi ng mga numero. Dahil sa larangan ng kumplikadong numero ay ang parehong tampok itakda bilang larangan ng real, f x i = 0 kung f = 0.

Sa pamamagitan ng tungkol praktikal na mga pagkakaiba, halimbawa sa larangan R parisukat equation hindi malulutas kung ang discriminant ay negatibo, habang ang C box ay hindi magpataw ng limitasyong ito sa pamamagitan ng pagpapasok ng mga haka-haka unit i.

mga resulta

"Brick" ng mga axioms at postulates na kung saan sa base matematika, huwag baguhin. Sa ilan sa mga ito dahil sa ang pagtaas ng impormasyon at ang pagpapakilala ng bagong theories ilagay ang sumusunod na "brick", na sa hinaharap ay maaaring maging ang batayan para sa susunod na hakbang. Halimbawa, natural na mga numero, sa kabila ng ang katunayan na ang mga ito ay isang subset ng mga tunay na field R, ay hindi mawawala ang kaugnayan nito. Ito ay upang ang mga ito ang batayan ng lahat elementary arithmetic, na kung saan ay nagsisimula sa kaalaman ng isang tao ng kapayapaan.

Mula sa isang praktikal na punto ng view, ang tunay na mga numero ng hitsura ng isang tuwid na linya. Ito ay posible na pumili ng isang direksyon, upang makilala ang mga pinagmulan at pitch. Direct ay binubuo ng isang walang-katapusang bilang ng mga puntos, ang bawat isa ay kumakatawan sa isang solong real number, hindi alintana kung o hindi makatuwiran. Mula sa paglalarawan na ito ay malinaw na kami ay pakikipag-usap tungkol sa mga konsepto, na kung saan ay batay sa matematika sa pangkalahatan, at matematikal na pagsusuri sa mga partikular na.