Mga kumplikadong numero. Ang kahulugan at ebolusyon ng "haka-haka na mga dami"

Ang mga numero ay ang pangunahing mga bagay na mathematical na kailangan para sa iba't ibang mga pag-compute at mga kalkulasyon. Ang kabuuan ng natural, integer, nakapangangatwiran at di-makatwirang mga de-numerong halaga ay bumubuo ng isang hanay ng mga tinatawag na tunay na numero. Ngunit mayroon ding isang hindi pangkaraniwang kategorya - mga kumplikadong numero, na tinukoy ni Rene Descartes bilang "mga haka-haka na halaga". At isa sa mga nangungunang mathematicians ng ikalabing walong siglo, si Leonard Euler ay iminungkahi upang ipakilala ang mga ito sa pamamagitan ng titik na i mula sa salitang Pranses na imaginare (haka-haka). Ano ang mga kumplikadong numero?

Ang tinatawag na mga expression ng form a + bi, kung saan ang isang at b ay tunay na mga numero, at ako ay isang digital indicator ng isang espesyal na halaga, ang parisukat na kung saan ay -1. Ang mga operasyon sa mga kumplikadong numero ay isinasagawa sa pamamagitan ng parehong mga alituntunin ng iba't ibang mga pagpapatakbo ng matematika sa mga polynomial. Ang kategoryang ito sa matematika ay hindi nagpapahayag ng mga resulta ng anumang mga sukat o mga kalkulasyon. Upang gawin ito, ito ay sapat na magkaroon ng tunay na mga numero. Para sa kung ano pagkatapos ay talagang kailangan nila?

Ang mga kumplikadong numero, bilang isang konsepto ng matematika, ay kinakailangan dahil ang ilang mga equation na may tunay na coefficients ay walang solusyon sa rehiyon ng "ordinaryong" mga numero. Dahil dito, upang palawakin ang saklaw ng paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay , naging kinakailangan upang ipakilala ang isang bagong kategorya ng matematika. Ang mga komplikadong mga numero, na may pangunahin na teoretikal na halaga, ay nagbibigay-daan sa paglutas ng mga equation tulad ng x2 + 1 = 0. Dapat pansinin na, sa kabila ng lahat ng tila pormalidad nito, ang kategoryang ito ng mga numero ay lubos na aktibo at malawakang ginagamit, halimbawa, upang malutas ang iba't ibang praktikal Mga tungkulin ng teorya ng pagkalastiko, electrical engineering, aerodynamics at hydromechanics, atomic physics at iba pang siyentipikong disiplina.

Ang modyul at argumento ng isang kumplikadong numero ay ginagamit kapag nagtatayo ng mga graph. Ang form na ito ng pagsulat ay tinatawag na trigonometriko. Bilang karagdagan, ang geometriko interpretasyon ng mga numerong ito ay lalong nagpalawak sa saklaw ng kanilang aplikasyon. Naging posible na gamitin ang mga ito para sa iba't ibang mga kalkulasyon ng cartographic.

Matematika ay may isang mahabang paraan mula sa simpleng natural na mga numero sa kumplikadong komplikadong sistema at ang kanilang mga pag-andar. Sa paksang ito maaari kang magsulat ng isang hiwalay na aklat-aralin. Narito itinuturing lamang natin ang ilang mga ebolusyonaryong sandali ng numero ng teorya, upang ang lahat ng mga makasaysayang at pang-agham na mga kinakailangan para sa paglitaw ng isang ibinigay na kategorya ng matematika ay magiging malinaw.

Ang mga sinaunang Griyego na mathematicians ay itinuturing na "tunay" lamang ng mga natural na numero, na maaaring magamit upang mabilang ang anumang bagay. Nasa ikalawang milenyo BC. E. Ang mga sinaunang Ehipsiyo at Babylonians sa iba't ibang mga praktikal na kalkulasyon aktibong ginagamit fractions. Ang susunod na mahalagang milyahe sa pagpapaunlad ng matematika ay ang hitsura ng mga negatibong numero sa Ancient China dalawang daang taon bago ang ating panahon. Ginamit din ito ng sinaunang Griyego na mathematician na Diophantus, na alam ang mga alituntunin ng pinakasimpleng operasyon sa kanila. Sa tulong ng mga negatibong numero naging posible na ilarawan ang iba't ibang mga pagbabago sa mga dami hindi lamang sa positibong eroplano.

Sa ikapitong siglo ng ating panahon tiyak na itinatag na ang parisukat na pinagmulan ng mga positibong numero ay laging may dalawang kahulugan - maliban sa positibo, negatibo din. Mula sa huli imposible na kunin ang parisukat na ugat ng karaniwan na mga algebraic na paraan ng panahong iyon: walang ganoong halaga ng x na x ² = 9. Para sa isang mahabang panahon na ito ay walang gaanong kahulugan. At lamang sa panlabing-anim na siglo, nang lumitaw ang mga cubical equation at nagsimulang aktibong pinag-aralan, kinakailangan na kunin ang square root ng mga negatibong numero, dahil ang formula para sa paglutas ng mga expression ay naglalaman ng hindi lamang kubiko, kundi pati na rin square pinagmulan.

Ang gayong formula ay walang kamali-mali kung ang equation ay may pinakamaraming isang tunay na ugat. Sa kaso ng pagkakaroon ng tatlong tunay na ugat sa equation, kapag sila ay gumaling, isang numero na may isang negatibong halaga ay nakuha. Kaya't ang paraan na kunin ang tatlong pinagmulan ay nakasalalay sa isang operasyon imposible mula sa pananaw ng matematika ng oras na iyon.

Upang ipaliwanag ang nagreresultang kabalintunaan, ang Italian algebraist na si J. Cardano ay hiniling na ipakilala ang isang bagong kategorya ng mga numero ng mga di-pangkaraniwang kalikasan, na tinatawag na kumplikadong mga. Ito ay kagiliw-giliw na ang Cardano ay isinasaalang-alang ang kanyang sarili walang silbi at sa bawat posibleng paraan sinubukan upang maiwasan ang paggamit ng parehong kategorya matematika na iminungkahi niya. Ngunit noong 1572 ay lumitaw ang aklat ng ibang Italian algebraist na Bombelli, kung saan ang mga patakaran ng mga operasyon sa mga kumplikadong numero ay inilagay nang detalyado.

Sa buong labimpitong siglo, ang mathematical na katangian ng mga numerong ito at ang mga posibilidad ng kanilang geometriko na interpretasyon ay patuloy na tinalakay. Gayundin, ang pamamaraan ng pakikipagtulungan sa kanila ay unti-unti na binuo at pinabuting. At sa turn ng ika-17 at ika-18 siglo isang pangkalahatang teorya ng mga kumplikadong numero ay nilikha. Ang isang malaking kontribusyon sa pagpapaunlad at pagpapabuti ng teorya ng mga tungkulin ng mga kumplikadong variable ay ipinakilala ng mga siyentipiko ng Russia at Sobyet. NI Muskhelishvili ay nakatuon sa application nito sa mga problema ng teorya ng pagkalastiko, Keldysh at Lavrentyev natagpuan application sa mga kumplikadong numero sa larangan ng hydro- at aerodynamics, at Vladimirov at Bogolyubov sa quantum field theory.