Fourier series: ang kasaysayan at impluwensiya ng mga matematiko mekanismo para sa pag-unlad ng agham

Fourier series - ang view na ito arbitrarily pinili function sa panahon sa isang hilera. Sa mga pangkalahatang tuntunin, ang solusyong ito ay tinatawag na ang pagpapalawak elemento sa isang orthogonal batayan. Ang pagpapalawak ng mga pag-andar sa Fourier series ay medyo isang malakas na tool para sa paglutas ng iba't-ibang mga problema dahil sa ang mga katangian ng ang pagbabago sa ang integration, pagkita ng kaibhan, pati na rin ng pagbabago sa ang argument pagpapahayag at kahukutan.

Ang taong hindi pamilyar sa mas mataas na matematika, pati na rin sa mga gawa ng Pranses siyentipiko Fourier, pinaka-malamang ay hindi maunawaan kung ano ang "ranggo" at kung ano ang kanilang ginagawa. Ngunit ito pagbabagong-anyo ay lubos na matatag ipinasok ating buhay. Ito ay ginagamit hindi lamang sa matematika, ngunit din physicists, chemists, mga doktor, ang mga astronomo, seismologists, oceanographers at iba pa. Ipaalam sa amin ring kumuha ng masusing pagtingin sa mga gawa ng mga dakilang Pranses siyentipiko na ginawa ang pagtuklas, maagang ng kanyang panahon.

Ang tao at ang Fourier Transform

Fourier series ay isa sa mga pamamaraan (kasama ang pag-aaral at iba pa) ng Fourier-anyo. Ang prosesong ito ay tumatagal ng lugar sa bawat oras na ang isang tao nakakarinig ng anumang tunog. Ang aming mga tainga ay awtomatikong-convert ang mga sound wave. Oscillatory paggalaw ng elementarya particle sa isang nababanat na daluyan ay pinalawak sa mga serye (spectrum) sunud-sunod na mga halaga ng volume para sa mga tono ng iba't ibang taas. Sunod, ang utak nag-convert ang data na ito sa mga pamilyar na mga tunog para sa amin. Ang lahat ng ito ay karagdagan sa aming pagnanais o malay mismo, ngunit upang maunawaan ang proseso na tumagal ng ilang taon sa pag-aaral ng mas mataas na matematika.

Magbasa nang higit pa tungkol sa mga Fourier Transform

Ang Fourier Transform ay maaaring natupad sa analytical, numerals at iba pang mga pamamaraan. Fourier series ay numeral proseso para sa decomposing anumang oscillatory proseso - mula sa tides karagatan at alon ng liwanag upang solar cycle (at iba pang bagay pang-astronomiya) aktibidad. Ang paggamit ng mga matematikal na pamamaraan, ito ay posible upang i-disassemble ang pag-andar, na kumakatawan sa anumang oscillatory proseso sa isang bilang ng mga sinusoidal bahagi na pumunta mula sa pinakamababang sa pinakamataas at vice versa. Ang Fourier Transform ay isang katangian na naglalarawan sa phase at malawak ng sinusoids naaayon sa isang partikular na dalas. Ang prosesong ito ay maaaring gamitin para sa paglutas ng isang napaka-komplikadong equation na naglalarawan sa mga dynamic na proseso na nagaganap sa ilalim ng pagkilos ng init, liwanag o electric enerhiya. Gayundin, ang Fourier series na ginagamit upang makilala sa DC bahagi sa komplikadong waveforms, ginagawang posible upang tamang kahulugan ang mga pang-eksperimentong obserbasyon sa medisina, kimika at astronomy.

makasaysayang impormasyon

Ang founding ama ng teorya na ito ay ang French mathematician Zhan Batist Zhozef Fure. Kanyang pangalan sa ibang pagkakataon at ang pagbabagong-anyo ay tinatawag na. Sa una, ang mga siyentipiko na ginagamit isang diskarte sa pag-aaral at ipaliwanag ang mga mekanismo ng thermal kondaktibiti - init pagpapalaganap sa solids. Fourier iminungkahi na ang unang irregular pamamahagi ng thermal alon ay maaaring decomposed sa simpleng sinusoid, ang bawat isa ay magkakaroon ng kanyang temperatura minimum at maximum, pati na rin ang phase nito. Kaya sa bawat naturang sangkap na sinusukat mula sa pinakamababang sa pinakamataas at vice versa. Ang matematikal na pag-andar na naglalarawan ng mga upper at lower peak ng curve, pati na rin ang phase ng bawat maharmonya, na tinatawag na ang Fourier ibahin ang anyo ng temperatura pamamahagi sa pagpapahayag. Ang may-akda ng teorya ng nabawasan pangkalahatang pag-andar ng pamamahagi na ay mahirap na mathematical paglalarawan, sa isang napaka-madaling upang mahawakan ang isang bilang ng mga pana-panahong pag-andar ng sine at cosine, sa dami ng pagbibigay ng paunang pamamahagi.

Ang prinsipyo ng conversion at ang mga tanawin ng mga kasabayan

Contemporaries ng scientist - ang nangungunang mathematicians ng mga unang bahagi ng ikalabinsiyam na siglo - ay hindi tanggapin ang teorya. Ang pangunahing pagtutol ay ang pag-apruba ng Fourier na ang walang patlang function na naglalarawan ng isang tuwid na linya o curve ay punit-punit, maaari itong kinakatawan bilang isang kabuuan ng sinusoidal expression na tuloy-tuloy na. Bilang halimbawa, isaalang-alang ng isang "step" Heaviside: ang halaga nito ay zero sa kaliwa ng ang puwang at isa sa kanan. function na ito ay naglalarawan ang pagdepende ng electric kasalukuyang sa oras ng variable para sa pagsasara chain. Contemporary theory sa oras na iyon, ay hindi kailanman nakaranas ng ganoong sitwasyon, kapag ang isang hindi walang patlang na expression ay inilarawan sa pamamagitan ng isang kumbinasyon ng tuloy-tuloy, mga karaniwang pag-andar, tulad ng exponential, sine, pahaba o parisukat.

Kung ano ang bothered sa French mathematicians sa teorya ng Fourier?

Matapos ang lahat, kung ang isang mathematician tama makipagtalo, pagkatapos, ng lagom isang walang-katapusang trigonometriko Fourier series, ito ay posible upang makakuha ng isang tumpak na representasyon ng hakbang sa pagpapahayag, kahit na ito ay may isang hanay ng mga katulad na mga hakbang. Sa unang bahagi ng ikalabinsiyam na siglo, ang pahayag na ito tila walang katotohanan. Ngunit sa kabila ng lahat ng pag-aalinlangan, maraming mga mathematicians ay may pinalawak na ang saklaw ng pag-aaral ng hindi pangkaraniwang bagay, gumagalaw ito sa kabila ng thermal pag-aaral pagpapadaloy. Gayunman, karamihan sa mga siyentipiko ay patuloy na magdusa ang tanong: "? Maaari bang ang kabuuan ng sine wave serye converges sa ang eksaktong halaga ng isang patlang function na"

Tagpo ng Fourier series: example

Ang isyu ng convergence rises sa bawat oras na kailangan mo ang kabuuan ng isang walang-katapusang serye ng numero. isaalang-alang ang isang klasikong halimbawa para sa pag-unawa ng mga ito kababalaghan. Maaari mong makaabot sa pader, kung ang bawat hakbang ay kalahati ng nakaraang? Ipagpalagay na ikaw ay dalawang metro mula sa layunin, ang unang hakbang na mas malapit sa paligid ng kalahati paraan, ang susunod na - ang tanda ng isang tatlong-quarters, at matapos ang ika-limang, ikaw ay pagtagumpayan ang halos 97 porsiyento ng mga paraan. Gayunpaman, hindi mahalaga kung gaano karaming mga hakbang na iyong ginawa hindi, ang nilalayon target naabot mo sa isang mahigpit na matematikal na kahulugan. Ang paggamit ng de-numerong mga kalkulasyon, maaari naming patunayan na sa katapusan ay maaaring mas malapit sa isang arbitrarily maliit ibinigay distansya. Ito ay katumbas ng isang patunay na nagpapakita na ang kabuuang halaga ng isa sa kalahati, isa ikaapat, at iba pa. E. Babaguhin ba ay may posibilidad na pagkakaisa.

Ang isyu ng convergence: ang ikalawang pagdating, o instrumento ng Panginoon Kelvin

Paulit-ulit ang tanong lumitaw sa huling bahagi ng ikalabinsiyam na siglo, kapag ang Fourier series Sinubukan ninyong gamitin upang mahulaan ang intensity ng ebbs at daloy. Sa oras na iyon, Panginoon Kelvin ay imbento aparato ay isang analog computer na kung saan pinapayagan ang mga mandaragat navy at merchant marine monitor ay isang likas na kababalaghan. Ito mekanismo tinukoy na hanay ng mga phases at amplitudes ng taas ng talahanayan ng tides at ang katumbas na oras sandali, maingat na sinusukat sa harbor sa buong taon. Ang bawat parameter ay isang sinusoidal component expression tide taas at ay isa sa mga regular na mga bahagi. Ang mga resulta ng pagsukat ay input sa computing aparato Panginoon Kelvin, synthesizing curve na hinulaang taas ng tubig bilang isang function ng mga sumusunod na taon. Sa lalong madaling panahon, ang mga curves ay inilabas up para sa lahat ng harbors sa mundo.

At kung ang proseso ay hahati walang patlang na function?

Sa oras na iyon, tila halata na ang aparato panghuhula isang agwahe, na may maraming mga sangkap ng account ay maaaring kalkulahin ang isang malaking bilang ng mga phases at amplitudes, at sa gayon ay nagbibigay ng isang mas tumpak na hula. Gayunpaman, ito naka-out na ang pattern na ito ay hindi na-obserbahan sa mga kaso kung saan ang mga ng taib-tabsing expression na iyon ay synthesized, naglalaman ng isang matalim tumalon, iyon ay, ay hindi walang patlang. Sa kaganapan na ang mga patakaran ng pamahalaan upang ipasok ang data mula sa isang table ng oras puntos, kinakalkula nito ilang Fourier coefficients. Recovering ang orihinal na function na dahil sa ang sinusoidal component (alinsunod sa mga natagpuan coefficients). Ang pagkakaiba sa pagitan ng orihinal at ang reconstructed expression ay maaaring sinusukat sa anumang punto. Kapag ang paulit-ulit na mga kalkulasyon at mga paghahambing ay maaaring makita na ang halaga ng ang pinakamalaking pagkakamali sa ay hindi nabawasan. Gayunman, sila ay naisalokal sa rehiyon naaayon sa punto ng pagkalagol, at anumang iba pang mga punto ay may posibilidad na zero. Noong 1899, ang resultang ito ay nakumpirma theoretically Joshua Willard Gibbs ng Yale University.

Tagpo ng Fourier series at pag-unlad ng matematika bilang isang kabuuan

Fourier analysis ay hindi nalalapat sa mga expression na naglalaman ng isang walang-katapusang bilang ng mga pagsabog sa isang tiyak na pagitan. Sa pangkalahatan Fourier series, kung ang orihinal na function ay kinakatawan ng ang mga resulta ng aktwal na pisikal na sukat, laging magkasalubong. Tanong ng mga tagpo ng prosesong ito para sa mga tiyak na mga klase ng mga pag-andar na humantong sa bagong sangay ng matematika, tulad ng teorya ng generalised function. Ito ay kaugnay na may mga pangalan tulad ng Schwartz, J .. Mikusiński at J. Templo. Sa ilalim ng teorya na ito, ang isang malinaw at tumpak na manilay-nilay batayan para sa naturang expression ay itinatag bilang Dirac delta function na (ito ay naglalarawan sa rehiyon ng isang solong lugar, puro sa isang katiting na katiting distrito ng point) at "step" Heaviside. Sa pamamagitan ng trabahong ito Fourier series ay naging naaangkop para sa paglutas ng mga equation at mga problema, na kung saan kasangkot intuitive konsepto: point singil, point masa, magnetic dipoles, at ang puro load sa beam.

Fourier paraan

Fourier series, alinsunod sa mga prinsipyo ng interference, magsimula sa ang agnas ng mga kumplikadong mga form sa mas simple. Halimbawa, ang isang pagbabago sa daloy ng init dahil sa kanyang pagpasa sa pamamagitan ng mga iba't-ibang mga hadlang ng ang init insulating materyal ng hindi regular na hugis o pagbabago ng lupa ibabaw - isang lindol, isang pagbabago sa orbit ng celestial katawan - ang impluwensiya ng mga planeta. Karaniwan, ang mga equation na naglalarawan simpleng classical na sistema elementarya lutasin para sa bawat indibidwal wavelength. Fourier ay ipinapakita na ang mga simpleng solusyon ay maaaring summed up bilang para sa mas kumplikadong mga gawain. Sa wika ng matematika, Fourier series - isang pamamaraan para sa pagsusumite ng expression kabuuan ng maharmonya - cosine at sine waves. Samakatuwid, pag-aaral na ito ay kilala rin sa ilalim ng pangalan "maharmonya analysis".

Fourier series - isang mainam na paraan upang ang "panahon ng computer"

Bago ang paglikha ng mga computer na teknolohiya Fourier pamamaraan ay ang pinakamahusay na armas sa arsenal ng mga siyentipiko nagtatrabaho sa wave likas na katangian ng ating mundo. Fourier series sa complex form na nagbibigay-daan sa iyo upang hindi lamang malutas ang mga simpleng problema na ang mga tumututol sa mga direktang aplikasyon ng Newton 's mga batas ng mekanika, ngunit din ang mga pangunahing equation. Karamihan sa mga tuklas ng Newtonian agham ng ikalabinsiyam na siglo ay naging posible lamang dahil sa ang Fourier paraan.

Fourier series ngayon

Gamit ang pag-unlad ng Fourier Transform computer na risen sa isang bagong antas. pamamaraan na ito ay matatag nakabaon sa halos lahat ng larangan ng agham at teknolohiya. Bilang halimbawa, isang digital na audio at video. pagpapatupad nito ay ginawa posible lamang salamat sa theory na binuo ng French mathematician ng unang bahagi ng ikalabinsiyam na siglo. Kaya, ang Fourier series sa complex form ay pinahihintulutan na gumawa ng isang pambihirang tagumpay sa pag-aaral ng kalawakan. Sa karagdagan, ito ay nagsangkot sa pag-aaral ng physics ng mga materyales semiconductor at plasma, microwave akustika, oseanograpya, radar, seismology.

Trigonometric Fourier series

Sa matematika, ang isang Fourier series ay isang paraan ng kumakatawan sa di-makatwirang kumplikadong pag-andar bilang isang kabuuan ng mas simple. Sa pangkalahatan kaso, ang bilang ng mga expression ay maaaring maging walang hanggan. Ang mas malaki ang bilang binibilang sa pagkalkula, ang mas tumpak ang pangwakas na resulta ay makuha. Ang pinaka-karaniwang paggamit ng mga simpleng trigonometriko cosine o sine function. Sa kasong ito, ang Fourier serye ay tinatawag na trigonometriko, at ang desisyon ng gayong mga pananalita - maharmonya agnas. Ang pamamaraan na ito ay gumaganap ng isang mahalagang papel sa matematika. Una sa lahat, ang trigonometriko serye ay nagbibigay ng isang paraan para sa mga imahe, pati na rin ang pag-aaral ng pag-andar, ito ay ang pangunahing yunit ng teorya. Bilang karagdagan, ito ay nagbibigay-daan sa amin upang malutas ang isang bilang ng mga problema sa matematika physics. Sa wakas, ang teoriyang ito nag-ambag sa pag-unlad ng matematikal na pagsusuri, ibinigay ito sa pagtaas sa isang bilang ng mga napaka-mahalagang sangay ng matematika siyensiya (teorya ng integrals, ang teorya ng mga pana-panahong pag-andar). Sa karagdagan, ang panimulang punto para sa pag-unlad ng ang mga sumusunod na teorya: set, pag-andar ng isang tunay na variable, functional analysis, at din inilatag ang pundasyon para sa maharmonya analysis.