Basic konsepto ng probabilidad theory. Ang mga batas ng probabilidad theory

Maraming mga tao, nang marinig ang kuru-kuro ng "bagay na maaaring mangyari theory", takot, pag-iisip na ito ay isang bagay na hindi matitiis, napakahirap. Ngunit ito ay talagang hindi kaya trahedya. Ngayon tinitingnan namin ang mga pangunahing mga konsepto ng probabilidad teorya, malaman upang malutas ang problema sa pamamagitan ng kongkreto halimbawa.

agham

Ano ang pag-aaral ng isang sangay ng matematika bilang isang "bagay na maaaring mangyari theory"? Ito ay tala pattern ng mga random na mga kaganapan at mga variable. Para sa unang pagkakataon ang isyu ng aalala siyentipiko sa ikalabing-walo siglo, kapag pinag-aralan pagsusugal. Basic konsepto ng probabilidad theory - event. Ito ay anumang katotohanan na nakasaad sa pamamagitan ng karanasan o pagmamasid. Ngunit ano ang karanasan? Ang isa pang pangunahing konsepto ng teorya ng probabilidad. Ito ay nangangahulugan na ang bahaging ito ng mga pangyayari ay hindi sinasadyang nilikha, at may isang layunin. Sa pagsasaalang-alang sa surveillance, may mga researcher ay hindi kanyang sarili ay lumahok sa mga karanasan, ngunit lamang ng isang saksi sa mga kaganapang ito, ito ay walang epekto sa kung ano ang nangyayari.

mga kaganapan

Natutunan namin na ang mga pangunahing konsepto ng teorya ng probabilidad - sa kaganapan, ngunit hindi isaalang-alang ang pag-uuri. Lahat ng mga ito ay nahahati sa mga sumusunod na kategorya:

• Maaasahan.
• Imposible.
• Random.

Hindi mahalaga kung ano ang mga kaganapan ay, na kung saan ay na pinapanood o nilikha sa kurso ng eksperimento, ang mga ito ay apektado sa pamamagitan ng pag-uuri na ito. Nag-aalok kami sa bawat uri ng makasalubong hiwalay.

tiyak na kaganapan

Ito ay isang katotohanan na kung saan upang gawin ang mga kinakailangang mga hanay ng mga gawain. Upang mas mahusay na maunawaan ang kakanyahan, ito ay mas mahusay na upang bigyan ang ilang halimbawa. Ito ay nakapailalim sa batas at pisika, kimika, economics, at mas mataas na matematika. bagay na maaaring mangyari theory ay nagsasama ng tulad ng isang mahalagang konsepto tulad ng isang mahalagang kaganapan. Narito ang ilang halimbawa:

• Nakikipagtulungan kami at tumanggap ng kabayarang sa anyo ng sahod.
• Well nakapasa sa pagsusulit, ang pumasa sa isang kompetisyon para sa mga ito upang makatanggap ng kabayarang sa anyo ng admission sa isang institusyong pang-edukasyon.
• Kami ay invested pera sa bangko, kumuha ng mga ito pabalik kung kinakailangan.

Ang ganitong mga pangyayari ay totoo. Kung kami ay natupad ang lahat ng mga kinakailangang mga kondisyon, siguraduhin na makuha ang inaasahang resulta.

imposible kaganapan

Ngayon isaalang-alang namin ang mga elemento ng teorya ng probabilidad. Nag-aalok kami upang pumunta sa mga paglilinaw sa mga sumusunod na mga uri ng mga kaganapan - lalo ang imposible. Upang simulan magtadhana ang pinakamahalagang panuntunan - ang posibilidad ng isang imposibleng pangyayari ay zero.

Mula sa formulation ito ay hindi maaaring derogated sa paglutas ng mga problema. Upang ilarawan halimbawa ng naturang mga kaganapan:

• Tubig ay frozen sa isang temperatura ng plus sampung (imposibleng).
• Ang kakulangan ng kuryente ay hindi nakakaapekto sa produksyon (tulad ng imposible tulad ng sa nakaraang halimbawa).

Higit pang mga halimbawa ay ibinigay ay hindi kinakailangan, tulad ng inilarawan sa itaas napaka-malinaw na sumasalamin sa kakanyahan ng kategoryang ito. Impossible kaganapan ay hindi kailanman ang mangyayari sa panahon ng eksperimento sa anumang pagkakataon.

random na mga kaganapan

Sa pamamagitan ng pag-aaral ng mga elemento ng probabilidad teorya, mga espesyal na pansin ay dapat bayaran sa nabanggit na uri ng kaganapan. Ang mga ay ang mga pag-aaral na ito science. Bilang isang resulta ng mga karanasan ng isang bagay na maaaring mangyari o hindi. Sa karagdagan, ang mga pagsubok ng isang walang limitasyong bilang ng beses ay maaaring natupad. Pambihirang mga halimbawa ay kinabibilangan ng:

• Ihagis ang coin - ito ay isang karanasan, o pagsubok, pagkawala ng isang agila - ang kaganapang ito.
• Batak ang bola mula sa bag nang walang taros - pagsubok, ay nahuli red ball - ang kaganapan na ito at iba pa.

Ang ganitong mga halimbawa ay maaaring maging isang hindi limitadong bilang, ngunit, sa pangkalahatan, ay dapat maintindihan. Upang ibuod at ayusin ang nakuha na kaalaman tungkol sa mga kaganapan ng isang table. bagay na maaaring mangyari theory na pag-aaral lamang ang huli uri ng lahat ng ipinakita.

batas

Probability theory - ang agham na pag-aaral ang posibilidad ng pagkawala ng anumang mga kaganapan. Tulad ng iba, ito ay may ilang mga panuntunan. Ang mga sumusunod na mga batas ng probabilidad theory:

• Ang tagpo ng sequences ng random variable.
• Ang batas ng mga malalaking numero.

Kapag kinakalkula ang posibilidad ng isang mahirap unawain ay maaaring gamitin kumplikadong simpleng pangyayari upang makamit ang mga resulta na mas madali at mas mabilis na paraan. Dapat ito ay nabanggit na ang mga batas ng probabilidad theory maaaring madaling pinatunayan sa tulong ng ilan sa mga theorems. Iminumungkahi namin na simulan upang pamilyar sa ang unang batas.

Ang tagpo ng sequences ng random na mga variable

Tandaan na ang tagpo ng ilang mga uri:

• Ang pagkakasunod-sunod ng random variable tagpo sa bagay na maaaring mangyari.
• Halos imposible.
• RMS tagpo.
• Convergence sa pamamahagi.

Kaya, sa mabilisang, ito ay mahirap na dakutin ang kakanyahan. Narito ang mga kahulugan na makakatulong upang maunawaan ang paksa. Upang magsimula sa unang hitsura. Ang pagkakasunod-sunod ay tinatawag na tagpo sa bagay na maaaring mangyari, kung ang mga sumusunod na kondisyon: n nalalapit sa infinity, ang bilang na hinahangad sa pamamagitan ng pagkakasunud-sunod ay mas malaki kaysa sa zero at malapit sa mga unit.

Pumunta sa susunod na view, halos tiyak. Sabi nila na ang pagkakasunod-sunod converges halos tiyak sa isang random variable na may n tending sa kawalang-hanggan, at R, tending sa ang halaga ng malapit sa pagkakaisa.

Ang susunod na uri - isang tagpo ng RMS. Kapag ginagamit ang SC-aaral tagpo ng vector random na proseso binabawasan ang pag-aaral ng random coordinate proseso.

Ang huling uri, tingnan natin sa madaling sabi at upang direktang pumunta sa ang solusyon ng mga problema. Convergence sa pamamahagi ay may ibang pangalan - "mahina", pagkatapos ay ipaliwanag kung bakit. Mahina tagpo - ay ang tagpo ng ang mga function ng pamamahagi sa lahat ng mga punto ng pagpapatuloy ng pag-andar na limitasyon sa pamamahagi.

Maging sigurado na panatilihin ang mga pangako: mahina tagpo ay naiiba mula sa lahat ng mga nasa itaas na ang random variable ay hindi tinukoy sa ang posibilidad space. Ito ay posible dahil ang kalagayan ay nabuo eksklusibo gamit ang function ng pamamahagi.

Ang batas ng mga malalaking numero

Mahusay helper sa patunay ng batas ay magiging theorems ng probabilidad teorya, tulad ng:

• Chebyshev hindi pagkakapareho.
• Chebyshev teorama.
• Generalised Chebyshev teorama.
• Markov teorama.

Kung isaalang-alang namin ang lahat ng mga theorems, at pagkatapos ay ang isyu ay maaaring tumagal ng ilang mga sampu-sampung mga sheet. Mayroon kaming ang pangunahing gawain - ay ang application ng probabilidad teorya sa pagsasanay. Nag-aalok kami sa iyo ngayon at gawin ito. Ngunit bago isaalang-alang namin ang mga axioms ng probabilidad teorya, ang mga ito ay mga pangunahing mga kasosyo sa paglutas ng mga problema.

axioms

Mula sa una, nakita na natin, kapag pinag-uusapan ang imposible kaganapan. ni matandaan Hayaan: ang probabilidad ng isang imposibleng pangyayari ay zero. Halimbawa binigyan kami ng isang napaka matingkad at di malilimutang: ang snow ay nahulog sa isang air temperatura ng tatlumpung degrees Celsius.

Ang pangalawa ay ang mga sumusunod: isang tiyak na kaganapan ay nangyayari na may posibilidad pagkakaisa. Ngayon kami ay nagpapakita kung paano ito ay nakasulat sa tulong ng mga mathematical wika: P (B) = 1.

Third: Ang isang random na kaganapan ay maaaring mangyari o hindi, ngunit ang posibilidad ay laging nag-iiba mula sa zero sa isa. Ang mas malapit ito sa pagkakaisa, ang mas maraming mga pagkakataon; kung ang halaga ay malapit sa zero, ang probabilidad ay masyadong mababa. Isinusulat namin ito sa matematika wika: 0

Isaalang-alang ang huling, pang-apat axiom, iyon ay: ang kabuuan ng ang posibilidad ng dalawang mga kaganapan ay katumbas ng sum ng kanilang mga probabilities. Sumulat matematikal na termino: P (A + B) = P (A) + P (B).

Ang axioms ng probabilidad theory - ito ay isang simpleng panuntunan na hindi magiging mahirap na matandaan. Subukan upang malutas ang ilang mga problema, batay sa kaalaman na nakuha Hayaan.

tiket sa loterya

Una, isaalang-alang ang pinakasimpleng halimbawa - isang lottery. Isipin na ikaw ay bumili ng lottery ticket para sa good luck. Ano ang probabilidad na ikaw ay manalo ng hindi bababa sa dalawampung rubles? Kabuuang sirkulasyon ay kasangkot sa isang libong tiket, isa sa kung saan ay may premyong limang daang rubles, sampung daang Rubles, dalawampu't at limampung rubles, at isang daang - limang. Ang gawain ng mga teorya ng probabilidad batay sa kung paano upang mahanap ang isang paraan upang swerte. Ngayon magkasama kami ay suriin ang desisyon itaas ng view ng Gawain.

Kung magpakilala namin sa pamamagitan A prize na limang daang Rubles, at pagkatapos ay ang probabilidad ng A ay katumbas ng 0.001. Paano kami makakuha ng? kailangan lang ang bilang ng mga "masuwerteng" tiket na hinati sa kabuuang bilang (sa kasong ito: 1/1000).

Sa - isang makakuha ng isang daang Rubles, ang probabilidad ay katumbas ng 0.01. Ngayon kami ay kumilos sa parehong paraan bilang ang huling pagkilos (10/1000)

C - kabayaran ay dalawampung rubles. Hanapin ang posibilidad na mangyari, ito ay katumbas ng 0.05.

Ang magpahinga ng ang mga tiket kami ay hindi interesado, pati na ang kanilang mga premyong pera ay mas mababa kaysa sa tinukoy sa ang kundisyon. Ilapat ang isang ika-apat nangungusap na katotohanan: Ang posibilidad ng pagpanalo hindi bababa sa dalawampung rubles ay P (A) + P (B) + P (C). Ang sulat P Tinutukoy ang posibilidad ng pinagmulan ng mga kaganapan, na namin sa mga nakaraang hakbang ay natagpuan ang mga ito. Ito ay nananatiling lamang upang ilapag ang mga kinakailangang mga data, ang tugon na nakukuha namin 0.061. Ang bilang na ito ay ang sagot sa tanong ng mga trabaho.

deck ng mga Cards

Problema sa probability theory, mayroon ding mga mas kumplikadong, halimbawa, gawin ang susunod na trabaho. Bago ka deck ng tatlumpu't anim na cards. Ang iyong gawain - upang gumuhit ng dalawang cards sa isang hilera, nang walang paghahalo pile, ang una at ikalawang card ay dapat na aces, paghahabla ay hindi mahalaga.

Upang magsimula, hanapin ang mga bagay na maaaring mangyari na ang unang card ay isang dalubhasa, hatiin ito sa pamamagitan ng apat na at tatlong pu't anim. Ilagay mo ito sa. makakakuha tayo ng isang pangalawang card ay isang Ace na may ang posibilidad ng tatlong daan at mga tatlumpung ikalimang. Ang posibilidad ng ikalawang kaganapan ay depende sa kung aling mga card na nakuha namin ang unang isa, kami ay interesado sa, ito ay isang dalubhasa o hindi. Mula sa ito ay sumusunod na sa kaganapan ay depende sa kaganapan A.

Ang susunod na hakbang nakita namin ang posibilidad ng sabay-sabay na pagpapatupad, ie, i-multiply A at B. Ang kanilang mga gawa ay tulad ng sumusunod: ang posibilidad ng isang kaganapan multiply sa conditional probabilidad ng isa pa, kinakalkula namin, ipagpalagay na ang unang kaganapan ay nangyari, ibig sabihin, ang unang card na nakuha namin isang dalubhasa.

Upang maging ang lahat ay malinaw, ibigay ang pagtatalaga tulad ng sangkap pati na ang conditional probabilidad ng kaganapan. Ito ay kinakalkula sa pamamagitan ng ipagpalagay na kaganapan A ang nangyari. Ito ay kinakalkula bilang mga sumusunod: P (B / A).

Pahabain namin ang solusyon sa ating mga problema: P (A _* B) = P (A) _* P (B / A) o P (A _* B) = P (B) _* P (A / B). bagay na maaaring mangyari ay _{(4/36) * ((3/35)} / (4/36) ay kinakalkula sa pamamagitan ng rounding sa pinakamalapit na daan Mayroon kaming: .. 0.11 _* (0.09 / 0.11) = 0.11 _* 0, 82 = 0.09. probabilidad ang na tayo maglabas ng dalawang aces sa isang hilera ay katumbas ng 9/100. ang halaga ay masyadong maliit, ito ay sumusunod na ang probabilidad ng kaganapan na pangyayari ay lubhang mababa.

nakalimutan room

Nag-aalok kami gumawa out ang ilang higit pang mga pagpipilian ng mga trabaho na nag-aaral sa teorya ng probabilidad. Mga halimbawa ng mga solusyon ng ilan sa mga iyan na iyong nakita sa artikulong ito, subukan upang malutas ang mga sumusunod na problema: Ang boy Nakalimutan ang numero ng telepono para sa huling digit ng kanyang kaibigan, ngunit dahil ang tawag ay napakahalaga, at pagkatapos ay nagsimulang upang kunin ang bawat isa sa pagliko. Kailangan namin upang makalkula ang posibilidad na siya ay tumawag sa hindi hihigit sa tatlong beses. ang pinakasimpleng solusyon ng problema, kung alam mo ang mga patakaran, mga batas at mga axioms ng probabilidad theory.

Bago mo makita ang isang solusyon, subukan upang malutas sa kanilang sarili. Alam namin na sa huli figure ay maaaring mula sa zero sa siyam na, para sa isang kabuuang ng sampung mga halaga. Probability na kinakailangan ay 1/10.

Susunod na kailangan namin upang isaalang-alang opsyon para sa pinagmulan ng mga kaganapan, ipaalam sa amin ipalagay na ang boy nahulaan tama at nanalo ang karapatan, ang posibilidad ng naturang mga kaganapan ay katumbas ng 1/10. Ang ikalawang pagpipilian: ang unang tawag slip, at ang pangalawang target. Kinakalkula namin ang posibilidad ng naturang mga kaganapan: 9/10 multiply sa 1/9 sa katapusan makakakuha tayo ng 1/10. Ang pangatlong pagpipilian: ang una at pangalawang tawag ay naka-out na maging ang maling address, tanging ang mga third boy ay kung saan siya pinaghahanap. Kalkulahin ang posibilidad ng naturang mga kaganapan: 9/10 multiply sa 8/9 at 1/8, makuha namin bilang isang resulta ng 1/10. Ibang mga pagpipiliang ito sa mga kondisyon ng problema kami ay hindi interesado, ito ay nananatiling para sa amin upang ilapag ang mga resultang ito, sa dulo kami ay may isang 3/10. Sagot: Ang posibilidad na ang isang batang lalaki ay tumawag ng hindi hihigit sa tatlong beses, katumbas ng 0.3.

Cards na may mga numero

Bago ka siyam na card, ang bawat isa ay nakasulat ang isang numero mula isa sa siyam, ang mga numero ay hindi paulit-ulit. Sila ay ilagay sa isang kahon at ihalo maigi. Kailangan mo upang makalkula ang probabilidad na ang

• pinagsama isang kahit na numero;
• isang dalawang-digit.

Bago ka magpatuloy sa desisyon magtadhana na m - ay ang bilang ng mga matagumpay na mga kaso, at n - ay ang kabuuang bilang ng mga pagpipilian. Ipaalam sa amin ang posibilidad na ang mga numero ay kahit na. Ay hindi mahirap upang makalkula na kahit mga numero ng apat, at ito ay ang aming m, ang lahat ng siyam na posibleng pagpipilian, iyon ay, m = 9. Pagkatapos ay ang probabilidad ay katumbas ng 0.44 o 4/9.

Isinasaalang-alang namin ang pangalawang kaso, ang bilang ng mga variant ng siyam na, at ang isang matagumpay na kinalabasan ay hindi maaaring maging sa lahat, iyon ay, m ay zero. Ang posibilidad na ang pahabang card ay maglalaman ng isang dalawang-digit na numero, tulad ng zero.